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Explicar ramas de la geometría para no matemático

Algunos antecedentes -
Soy una avanzada física de pregrado y últimamente estaba motivado para auto-estudio básico contemporáneo de la geometría para obtener un mejor agarre en la relatividad general (tal vez hay un mayor categoría adecuada para lo que yo llamo aquí la geometría). He encontrado muchas recomendaciones de libros y recursos, sin embargo, como un "outsider" en el campo de las matemáticas, entiendo muy poco de la diferencia entre las ramas de la geometría. De Wikipedia, las definiciones no ayuda mucho a obtener una clara distinción entre los diferentes campos, y me gustaría saber un poco más antes de invertir gran cantidad de tiempo en esto.

La pregunta es - ¿puede usted describir (o se refieren a la simple descripción) para un matemático laico como yo, ¿qué tipo de problemas las secciones siguientes tratan con - topología, geometría diferencial , geometría de Riemann y las diferencias entre ellos (especialmente entre las dos últimas).

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seanyboy Puntos 3170

La topología es realmente distinta de las otras dos. A grandes rasgos, la topología es el estudio de aquellas propiedades de un espacio geométrico que no dependen de nociones tales como la distancia o el ángulo. Dentro de la topología de la superficie de una esfera se considera la misma como la superficie de un cubo, a pesar de que estos pueden ser distinguidos de la superficie de un donut (es decir, un toro). La topología se ocupa también de una clase mucho más amplia de espacios geométricos que los otros dos, incluyendo colectores, los complejos, los espacios de funciones, y la más general de espacios topológicos. Los conceptos básicos de topología son un tema fundamental para gran parte de las matemáticas, y más avanzada (es decir, a nivel de posgrado) de los tratamientos de la geometría diferencial asumir, al menos, algunos de topología como un requisito previo.

Diferenciales y geometría de Riemann, por el contrario, se refiere principalmente a los colectores (es decir, curvas, superficies, y sus mayores dimensiones análogos), y que implican nociones tales como la distancia, el ángulo, y la curvatura, así como el uso intensivo de cálculo diferencial.

La distinción entre la geometría diferencial y geometría de Riemann es sutil.
Geometría de riemann describe un determinado enfoque o punto de vista hacia la geometría diferencial, donde los principales objetos de estudio son abstractas diferenciable colectores dotado de métricas de Riemann. Este enfoque ha sido extraordinariamente fecunda, y en este punto la gran mayoría de la geometría diferencial claramente cae bajo el marco de Riemann. En efecto, la "geometría diferencial" y "geometría de Riemann" se describe a veces como sinónimos.

Al mismo tiempo, hay un par de temas dentro de la geometría diferencial que realmente no caen dentro de la geometría de Riemann. Por ejemplo, la relativamente nuevos campos de la geometría simpléctica (que está relacionado con Hamiltoniana de la mecánica) y contacto de la geometría estudio de estructuras geométricas que se pueden colocar en una variedad diferenciable que son bastante diferentes a partir de una métrica de Riemann, aunque algunos podrían argumentar que estos temas no son parte de la geometría diferencial. Pero incluso de Lorenz colectores (muy importante en la relatividad general) no son estrictamente de Riemann colectores, aunque se considera "pseudo-Reimannian" y el estudio de ellos es bastante similar a la geometría de Riemann. Por último, la gente que estudio arbitraria conexiones o incluso sintético de la geometría diferencial podría decirse que han pasado de geometría de Riemann a algo más general.

También hay clásicos de los aspectos del estudio de la geometría diferencial, que no he sido absorbidas en el marco de Riemann, tales como el estudio de curvas y superficies en dos y tres dimensiones. A grandes rasgos, la geometría de Riemann es que se trate con las propiedades intrínsecas de un colector, por lo que cualquier propiedades geométricas que son extrínsecos, es decir, dependen de una integración en un espacio ambiente, realmente no caen bajo la geometría de Riemann. Por lo tanto la curvatura Gaussiana es un concepto de Riemann, pero la media de curvatura y el estudio de las superficies mínimas (es decir, las formas que ha hecho el jabón películas) es realmente distinta de la geometría de Riemann.

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ruchirhhi Puntos 199

Diferencial Topología y Geometría Diferencial se cruzan en un montón de maneras por lo que he visto. Sin embargo, si usted está de física más sabe leer y escribir, probablemente hablar de una manera más efectiva en términos de álgebra lineal y análisis vectorial que es bueno para la Geometría Diferencial. Por lo tanto, usted probablemente debería empezar por ahí. Sin embargo, creo que es importante conocer la Topología de como puede llegar a ser muy útil sujeto. Realmente no conseguir un buen ojo de pájaro-vista de lo que la Topología de los intentos de estudio al principio, pero con el tiempo comienza en las que confluyen los más expuestos. El tipo más importante de espacios topológicos para la Relatividad General son finitos dimensiones de los colectores. Un buen libro sobre este tema se titula "Diferenciable Colectores y la Geometría de Riemann" por Boothby. Yo no sé nada acerca de la diferencia entre la Geometría de Riemann y estos otros dos sujetos, pero mi conjetura sería que la Geometría de Riemann tiene más que ver con el Complejo de Análisis, a pesar de que sólo una conjetura.

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AdLibitum Puntos 1582

Topología: general mente de instalación, el estudio de una rama particular de la Geometría puede ser visto como el estudio de las propiedades de los objetos geométricos que permanecen inalteradas después de antemano bien precisando conjunto de transformaciones. Por ejemplo, la Euclídea Geomety es lo que obtienes si sólo permite transformaciones ortogonales del espacio: las distancias se conservan los ángulos se conservan, las líneas siguen siendo líneas y así sucesivamente. Si usted permite que todas las transformaciones afines (inmediata generalizaciones de transformaciones lineales) en lugar de sólo el ortogonal, métrica nociones tales como la distancia o el ángulo de perder el sentido, pero las líneas siguen siendo las líneas de Topología es lo que usted consigue cuando usted permite que el gran conjunto de todos los bicontinuous invertible transformaciones del espacio. Ahora también la linealidad se pierde: una línea puede ser transformado en una recta de la curva y así sucesivamente. Sin embargo, algunos básicos principales propiedades se conservan: conectividad, compacidad y uno se da cuenta de que algunas de las propiedades básicas de las funciones continuas (por ejemplo, el teorema de Bolzano) son toplogical en la naturaleza.

La Geometría diferencial: Objeto de estudio de la DG son los reales y complejos variedades (lea: geométrico de las "formas") que puede ser descrito como cero-loci de funciones analíticas. Aquí la Geometría y el Análisis de venir juntos, por así decirlo, lo que permite el uso de herramientas analíticas para el estudio de propiedades geométricas.

Geometría de riemann: RG es una especie de subconjunto de DG: en RG variedades están dotados de una intrínseca de la noción de la distancia y la curvatura. Es decir, hay poca o ninguna referencia a un espacio ambiente donde estas variedades pueden ser incrustados. Como un (gran) ejemplo considerar el espacio-tiempo de Einstein de la TGR, que es localmente relacionados con Minkowski del espacio-tiempo.

Por tanto DG y RG, la noción de variedad (aka, colector) es fundamental: sugiero comenzar con un buen libro de texto.

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