$gf$ cerrado con compact fibras $\implies f$ cerrado con fibras compactas

Question

Llamada de una función continua $\phi: A \to B$ universalmente cerrado si $\phi \times 1_T$ es cerrado para cada espacio topológico $T$. Ejercicio 3.6.13(d) de Ronnie Brown Topología y Groupoids le pide al lector mostrar que si $f: X \to Y$ $g: Y \to Z$ son funciones continuas, $gf$ es universalmente cerrado, y $Y$ es Hausdorff, entonces $f$ es universalmente cerrado.

En ejercicios anteriores se ha demostrado que la $\phi$ universalmente cerrado es equivalente a $\phi$ ser cerrado con compacto de fibras. También se ha demostrado que la $\phi$ universalmente cerrado implica que $\phi$ es adecuada, es decir, preimages de conjuntos compactos es compacto. También podría ser útil: un mapa de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff es universalmente cerrado, y un buen mapa en un Hausdorff $k$-el espacio es universalmente cerrado.

Mi estrategia ha sido mostrar que $f$ se cierra con compacto de fibras. He tenido éxito en demostrar que $f$ debe tener compacto de fibras, pero no he sido capaz de mostrar, $f$ es cerrado.

El argumento para el compacto de fibras es: Supongamos $y \in Y$. A continuación, $(gf)^{-1}g(\{y\})$ es compacto, ya que es la preimagen en $gf$ del conjunto compacto $\{g(y)\}$. El conjunto de puntos $\{y\}$ está cerrado desde $Y$ es Hausdorff, por lo $f^{-1}(\{y\})$ es un conjunto cerrado, debido a que $f$ es continua. Desde $f^{-1}(\{y\})$ es un subconjunto cerrado del conjunto compacto $(gf)^{-1}g\{y\}$, es compacto. QED

Tenga en cuenta que el mismo argumento funciona para $\{y\}$ reemplazado por cualquier conjunto compacto, por lo $f$ es sin duda correcta. Como se ha mencionado, un buen mapa en un Hausdorff $k$-el espacio es universalmente cerrado, así que, si podemos mostrar que $Y$ $k$- espacio, nos gustaría hacer, pero no veo por qué debería ser.

Answer 1

La siguiente es una adaptación de Bourbaki de la topología General, Ch. I, §10, Prop. 5. Voy a estar usando las partes (a) y (c) de su ejercicio, a saber:

(a) si $f,g$ son universalmente cerrado y $\operatorname{Im} f$ está cerrada, $g \circ f$ es universalmente cerrado;

(c) si $g \circ f$ es universalmente cerrado y $g$ es inyectiva, a continuación, $f$ es universalmente cerrado.

Considere el diagrama conmutativo $$\requieren{AMScd} \begin{CD} X @>{\Gamma_f}>> X \times Y\\ @V{f}VV @VV{(g \circ f) \times \operatorname{Id}_Y}V\\ Y @>{\Gamma'_g}>> Z \times Y \end{CD}$$ donde $\Gamma_f$ es la gráfica de $f$ asignación de $x \mapsto (x,f(x))$ $\Gamma'_g$ es el mapeo $y \mapsto (g(y),y)$.

En primer lugar, $\Gamma_f(X)$ es un homeomorphism en su imagen desde la primera proyección de una continua inversa mapa. Siguiente, $\Gamma_f(X)$ es cerrado en $X \times Y$ desde el si $\Delta_Y \colon Y \to Y \times Y$ es la diagonal, a continuación,$\Gamma_f(X) = (f\times\operatorname{Id}_Y)^{-1}(\Delta_Y(Y))$, e $\Delta_Y(Y)$ es cerrado. Por lo tanto $\Gamma_f$ es un cerrado mapa con fibras compactas por lo tanto universalmente cerrado.

Ahora, por supuesto, $(g \circ f) \times \operatorname{Id}_Y$ es universalmente cerrado (ya que si $W$ es otro espacio topológico, entonces $(g \circ f) \times \operatorname{Id}_Y \times \operatorname{Id}_W = (g \circ f) \times \operatorname{Id}_{Y \times W}$ es cerrado), por lo que la composición $X \to Z \times Y$ es universalmente cerrado por (un). Así, desde la $\Gamma'_g$ es inyectiva, $f$ es universalmente cerrado por (c).

Answer 2

Posiblemente las siguientes pruebas de "Topología General" por Ryszard Engelking sería útiles para usted.