Para evaluar $\int_0^\infty x \mathrm{e}^{-\frac{(x-a)^2}{b}}\,\mathrm{d}x$, he solicitado la sustitución $u=\frac{(x-a)^2}{b}$, $x-a=(ub)^{1/2}$, y $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{2(x-a)}{b}$. En primer lugar quiero pedir si $x-a$ debe en realidad la igualdad de $\pm (ub)^{1/2}$ (es decir, es válida para omitir el signo menos, y por qué?). La aplicación de esta sustitución, \begin{align} I &=\int_0^\infty x \mathrm{e}^{-\frac{(x-a)^2}{b}}\, \mathrm{d}x \\ &=\int_0^\infty x \mathrm{e}^{-u} \frac{b\,\mathrm{d}u}{2(x-a)} \\ &=\int_{\frac{a^2}{b}}^\infty \left((ub)^{1/2} + a\right)\cdot{}\mathrm{e}^{-u} \frac{b\,\mathrm{d}u}{2(ub)^{1/2}} \\ &=\frac{b}{2}\int_{\frac{a^2}{b}}^\infty \mathrm{e}^{-u}\,\mathrm{d}u + ab^{-1/2}\mathrm{e}^{-u} u^{-1/2}\,\mathrm{d}u \\ &=\frac{b}{2}\int_{\frac{a^2}{b}}^\infty \mathrm{e}^{-u}\,\mathrm{d}u + \frac{a\sqrt{b}}{2}\int_{\frac{a^2}{b}}^\infty \mathrm{e}^{-u} u^{-1/2}\,\mathrm{d}u, \end{align} Me parece que soy incapaz de evaluar el segundo término porque el dominio es de un no-cero constante a $+\infty$. Fueron el dominio $[0,+\infty)$, la segunda integral es simplemente una $\Gamma$ función. Viendo que la sustitución he intentado no ha funcionado, podría alguien por favor proponer una ruta alternativa para evaluar esta integral definida? Gracias.
Respuesta
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Asumimos que $b>0$ de lo contrario no es convergente la integral. "La" buena sustitución es $u=\frac{x-a}{\sqrt b}$, tan $\sqrt bu+a=x$y $dx=\sqrt bdu$. Tenemos\begin{align*} I_{a,b}&:=\int_0^{+\infty}x\exp\left(-\frac{(x-a)^2}b\right)dx\\ &=\int_{-a/\sqrt b}^{+\infty}(\sqrt bu+a)\exp(-u^2)\sqrt bdu\\ &=a\sqrt b\int_{-a/\sqrt b}^{+\infty}\exp(-u^2)du+ b\left[-\frac{\exp(-u^2)}2\right]_{-a/\sqrt b}^{+\infty}\\ &=\frac b2\exp\left(-\frac{a^2}b\right)+a\sqrt b \int_0^{+\infty}\exp(-u^2)du-a\sqrt b\int_0^{a/\sqrt b}\exp(-u^2)du\\ &=\frac b2\exp\left(-\frac{a^2}b\right)+a\sqrt b\int_0^{+\infty}\exp\left(-\frac{t^2}2\right)du\frac 1{\sqrt 2}-a\sqrt b\frac{\sqrt \pi}2\operatorname{erf}\left(\frac a{\sqrt b}\right) \\ &=\frac b2\exp \left(-\frac{a^2}b\right)+\frac{a\sqrt b\sqrt \pi}2\left(\frac 1{\sqrt 2}-\operatorname{erf}\left(\frac a{\sqrt b}\right)\right), \end{align*} donde $\operatorname{erf}\left(x\right)=\frac 2{\sqrt \pi}\int_0^xe^{-t^2}dt$.
