Demostrar que $P^{(n)}(x) = a_{n}n!$ si $P(x) = a_{n}\cdot x^{n} + a_{n-1}\cdot x^{n-1} + \cdots + a_{0}$

Question

Dejemos que $P(x) = a_{n}\cdot x^{n} + a_{n-1}\cdot x^{n-1} + \cdots + a_{0}$ sea un polinomio con coeficientes reales. ¿Cómo podemos demostrar que su $n$ es la derivada: $$P^{(n)}(x) = a_{n}n!$$

Answer 1

Una pista:

Desde aquí observe que $$\frac{dx^m}{d^nx}=\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$$ ( Prueba )

$$\text{ So, }\frac{dx^m}{d^nx}=0 \text{ if }0\le m<n\text { and } \frac{dx^n}{d^nx}=\frac{n!}{(n-n)!}x^{n-n}=n!$$

Answer 2

Por inducción: tiene $(a_1 x+a_0)' = a_1\cdot 1!$ . Por lo tanto, la afirmación es válida para $n = 1$ . Supongamos ahora que la afirmación es válida para $n-1$ y demostremos que implica la afirmación de $n$ .

Dejemos que $$ P_n(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k $$ sea cualquier polinomio de grado $n$ entonces $$ P_n'(x) = \sum_{k=1}^{n}k\cdot a_{k}x^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-1}b_k x^k =: P_{n-1}(x) $$ es un polinomio de grado $n-1$ con el término principal $b_{n-1} = na_{n}$ . Sabemos que $$ P^{(n)}_n = P^{(n-1)}_{n-1} = (n-1)!b_{n-1} = n! a_n $$

Answer 3

Que el polinomio sea $$p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k$$

Obsérvese que para cualquier polinomio $q$ de grado $m<n$ tenemos que $$q^{(m)}\equiv 0$$ (es decir, es el polinomio cero)

Además, hay que tener en cuenta que $$p(x)=a_nx^n+q(x)$$ donde $\operatorname{deg}(q)\leq n-1$ . Entonces $$p^{(n)}(x)=a_n(x^n)^{(n)}+0=a_n(x^n)^{(n)}$$

Así que ahora puedes demostrar por inducción dos cosas

$1.$ Si $q$ es un polinomio de grado $m<n$ , $q^{(n)}=0$ .

$2.$ Si $f(x)=x^n$ entonces $f^{(n)}=n!$

y habrás terminado.

Answer 4

La derivada es lineal y los monomios inferiores desaparecen por lo que basta con demostrar $\left(\frac{d}{dx}\right)^n x^n = n!$ demostramos una afirmación un poco más fuerte por inducción:

Teorema $\left(\frac{d}{dx}\right)^k x^n = \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}$ .
prueba: $k=0$ es trivial, supongamos que es cierto para $k$ lo mostramos para $k+1$ diferenciando el RHS una vez $$\frac{d}{dx} \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} = \frac{n!}{(n-k-1)!}x^{n-k-1}.$$