Cuál es el rango de $f :R → R$ y $f(x) = x^2 + 6x − 8$

Question

Esta pregunta matemáticas discretas he hecho completando el cuadrado pero no está seguro de cómo continuar. ¿Puedo obtener alguna guía? ¡Gracias!

Cuál es el rango de $f :R → R$ y $f(x) = x^2 + 6x − 8$

$f(x)=x^2+6x-8$

$f(x)=(x^2+6x+9)-8-9$

$f(x)=(x+3)^2-17$

Answer 1

\begin{align} f(x) & = x^2 + 6x - 8 \\ & = (x^2 + 6x + 9) - 8 - 9 \\ & = (x + 3)^2 - 17 \\ \end{align}

Por lo tanto, el rango es de $[-17, \infty)$, que sigue inmediatamente del hecho de que $(x + 3)^2 \ge 0$ y $f(x)$ no está delimitado desde arriba.

Mientras que este es el enfoque general para buscar rangos de las funciones cuadráticas, considere la posibilidad de este lugar si no te haces a la idea anterior:

Supongamos que $f(x) = k$ donde $x, k \in \Bbb R$, entonces el rango de a $f(x)$ es sólo el rango de $k$.

\begin{align} f(x) = k & \Leftrightarrow f(x) - k = 0 \\ & \Leftrightarrow x^2 + 6x - (8 + k) = 0 \\ \end{align}

Desde $x \in \Bbb R$, $x^2 + 6x- (8 + k) = 0$ tiene raíces reales, lo que equivale a

\begin{align} \Delta & = b^2 - 4ac \\ & = 6^2 + 4 \cdot 1 \cdot (8 + k) \\ & = 68 + 4k \\ & \ge 0 \\ \end{align}

Por lo tanto,

$$f(x) = k \ge -17$$

y $[-17, \infty)$ es el rango de $f(x)$.

Answer 2

De los comentarios anteriores, vemos que el rango tiene que ser $[-17, \infty)$ como la función es estrictamente creciente y sin límites por encima.