Demostrar que el límite $\lim \limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{n^3 - n^2}}\right)^n$ no existe o lo encuentra

Question

Dado $\lim \limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{n^3 - n^2}}\right)^n$ .

Mi intento: $\lim \limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{n^3 - n^2}}\right)^n = \lim \limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n\sqrt[3]{1 - 1/n}}\right)^n$ . Así que como el $n \to \infty \Rightarrow \sqrt[3]{1 - 1/n} \to 1$ .

$\lim \limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n\sqrt[3]{1 - 1/n}}\right)^n = \lim \limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ .

Sin embargo, no estoy seguro de que mi prueba sea lo suficientemente estricta, especialmente el momento, en el que paso de $\sqrt[3]{1 - 1/n}$ à $1$ .

Answer 1

$\lim \limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n\sqrt[3]{1 - 1/n}}\right)^n = \lim \limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ .

Sin embargo, no estoy seguro de que mi prueba sea lo suficientemente estricta, especialmente el momento, en el que paso de $\sqrt[3]{1 - 1/n}$ à $1$ .

Efectivamente, este paso no es correcto, y hay que justificar por qué está bien (en otras circunstancias, muy parecidas, puede no dar el resultado correcto).

Como casi siempre hay una duda o algún paso no trivial a realizar, en esta situación sugeriría reescribir la cantidad en la forma exponencial (abajo, derivación muy detallada) : $$ \left(1 + \frac{1}{n\sqrt[3]{1 - 1/n}}\right)^n = \exp\left(n \ln \left(1 + \frac{1}{n\sqrt[3]{1 - 1/n}}\right) \right) $$ Ahora, $$\begin{align} n \ln \left(1 + \frac{1}{n\sqrt[3]{1 - 1/n}}\right) &= \frac{1}{\sqrt[3]{1 - 1/n}}\cdot n\sqrt[3]{1 - 1/n} \ln \left(1 + \frac{1}{n\sqrt[3]{1 - 1/n}}\right)\\ &= \frac{1}{\sqrt[3]{1 - 1/n}}\cdot \frac{\ln \left(1 + a_n\right)}{a_n} \end{align}$$ ajuste $a_n\stackrel{\rm def}{=}\frac{1}{n\sqrt[3]{1 - 1/n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$ . Recordando que $\frac{\ln(1+u)}{u}\xrightarrow[u\to0]{}1$ , obtenemos que $$ \frac{1}{\sqrt[3]{1 - 1/n}}\cdot \frac{\ln \left(1 + a_n\right)}{a_n} \xrightarrow[n\to\infty]{}1\cdot 1=1 $$ y por lo tanto $$ \exp\left(\frac{1}{\sqrt[3]{1 - 1/n}}\cdot \frac{\ln \left(1 + a_n\right)}{a_n}\right) \xrightarrow[n\to\infty]{} e^1 = e $$ por la continuidad de la exponencial.

Answer 2

El resultado final es correcto, pero su último paso carece de rigor. Como nuestro límite es de la forma " $1^\infty$ ", el truco habitual servirá:

$$\lim \limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1 {\sqrt[3] {n^3 - n^2}} \right) ^n = \lim \limits_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac 1 {\sqrt[3] {n^3 - n^2}} \right) ^{\sqrt[3] {n^3 - n^2}} \right] ^{\frac n {\sqrt[3] {n^3 - n^2}}} = \\ \left[ \lim \limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1 {\sqrt[3] {n^3 - n^2}} \right) ^{\sqrt[3] {n^3 - n^2}} \right] ^{\lim \limits_{n \to \infty} \frac n {\sqrt[3] {n^3 - n^2}}} = \Bbb e ^{\lim \limits_{n \to \infty} \frac n {\sqrt[3] {n^3 - n^2}}} = \Bbb e ^1 = \Bbb e.$$

"El truco habitual" que he mencionado es el siguiente: siempre que haya que estudiar un límite del tipo $\left( 1 + \frac 1 {x_n} \right) ^{y_n}$ avec $x_n, y_n \to \infty$ , reescríbalo como

$$\left[ \left( 1 + \frac 1 {x_n} \right) ^{x_n} \right] ^{\frac {y_n} {x_n}}$$

y utilizar el hecho de que $\left( 1 + \frac 1 {x_n} \right) ^{x_n} \to \Bbb e$ . Toda la dificultad del ejercicio se convierte, entonces, en el cálculo de $\lim \frac {y_n} {x_n}$ que en muchos casos es bastante más sencillo que cualquier otro enfoque que se pueda considerar.

Answer 3

Hay que explicar la última igualdad. En cualquier caso podemos utilizar que si $a_n\to 1$ y $b_n\to \infty$ entonces, $$L=\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_n^{b_n}=e^{\lambda} \text{ where } \lambda=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(a_n-1){b_n}.$$ En nuestro caso, $\lambda=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{n}{\sqrt[3]{n^3-n^2}}=\ldots=1, \text{ so } L=e^1=e.$

Answer 4

De hecho, el paso sobre el que dudas es un salto bastante peligroso.

Si es posible, puede utilizar funciones en lugar de secuencias. Y, con exponenciales con base variable, pasar a logaritmos. Si encuentras que el límite del logaritmo es $l$ entonces su límite es $e^l$ (o $0$ si $l=-\infty$ o $\infty$ si $l=\infty$ ). Si la función tiene límite en $\infty$ La secuencia la comparte.

Por lo tanto, necesita $$ \lim_{x\to\infty}x\log\left(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{x^3 - x^2}}\right) $$ Ahora bien, este límite (siempre que exista) es el mismo que $$ \lim_{t\to0^+}\frac{1}{t}\log\left(1+\frac{t}{\sqrt[3]{1-t}}\right)= \lim_{t\to0^+}\frac{\dfrac{t}{\sqrt[3]{1-t}}+o(t)}{t}=1 $$ Sin Taylor, el conjunto $\sqrt[3]{1-t}=u$ por lo que el límite se convierte en $$ \lim_{u\to1^-}\frac{\log(1+u-u^3)-\log u}{1-u^3}= \lim_{u\to1^-}\frac{\log u-\log(1+u-u^3)}{u-1}\frac{1}{u^2+u+1} $$ El segundo factor tiene límite $1/3$ el primer factor proporciona la derivada en $1$ de la función $f(u)=\log u-\log(1+u-u^3)$ ya que $$ f'(u)=\frac{1}{u}-\frac{1-3u^2}{1+u-u^3} $$ obtenemos $$ f'(1)=1-\frac{1-3}{1+1-1}=3 $$ por lo que el límite es $1$ .

Por último, el límite buscado es $e^1=e$ .