Un conjunto cerrado en un espacio métrico es $G_\delta$

Question

¿Cómo puedo demostrar que un conjunto cerrado $F$ en la métrica $(X,d)$ es $G_\delta$ .

Dejemos que $n\in \mathbb{N}$ .

Considero que $B_n={F}=\bigcup_ {x\in F} B(x,{1\over n})$ que es una colección de una bola abierta. Entonces supongo que lo que tengo que demostrar a continuación es que la intersección de todas estas bolas abiertas es el conjunto cerrado F.

No estoy seguro de cómo hacerlo, por favor ayúdenme. Muchas gracias.

Answer 1

Si $x\in \bigcap_n B_n$ , entonces para cada $n$ por la definición de $B_n$ Hay un poco de $x_n\in F$ con $d(x_n,x)<1/n$ . Entonces $(x_n)$ converge a $x$ , por lo que como $F$ está cerrado $x\in F$ .