Que $(a_n)$ sea una secuencia de números verdaderos. Supongamos que cada una de la subsecuencias $(a_{2n}),(a_{2n+1})$ y $(a_{3n})$ converge a $p,q$ y $r$

Question

Que $(a_n)$ sea una secuencia de números verdaderos. Supongamos que cada una de la subsecuencias $(a_{2n}),(a_{2n+1})$ y $(a_{3n})$ converge a $p,q$ y $r$, respectivamente. Mostrar que $p=r$ y $q=r$ y por lo tanto, concluir que $(a_n)$ converge. Para probar el $p=r$, considero un subsequence de $(a_{2n})$ y $(a_{3n})$, $(a_{6n})$. Entonces yo digo claramente converge $(a_{6n})$ $p$ y $r$ y $p=r$. ¿Es esto obra prueba?

Answer 1

Por lo tanto, a resumir los comentarios:

Sí, $a_{6n}$ es un subsequence de $a_{2n}$ y $a_{3n}$, por lo que converge a $p$ y $r$, así $p=r$.

Del mismo modo, $a_{6n+3}=a_{3(2n+1)}=a_{2(3n+1)+1}$ es un subsequence de $a_{3n}$ y $a_{2n+1}$, por lo que converge a $r$ y $q$, así $r=q$.

Así $p=r=q$ y $a_{2n}$ y $a_{2n+1}$ cubre todos los $a_n$, converge.