Conteo de partículas browniana: punto de proceso

Question

Imagine un punto de proceso definido por el paso del tiempo puramente browniano de las partículas a través de un punto dado (1D), línea (2D) o en avión (3D). Estoy interesado en la variación de la cuenta (número de partículas que pasan a los puntos) como una función del tiempo de muestreo.

A diferencia del movimiento browniano, espero que mi señal para mostrar la no-desaparición de correlación, debido a que una partícula que se acaban de cruzar el punto, tiene una alta probabilidad de cruzar de nuevo. Por lo tanto la correlación debe verse como una función delta de dirac (clásico discreta punto de proceso), además de una disminución de la función de tiempo.

Sin embargo, estoy un poco confundir con la manera de calcular analíticamente. Busco en las áreas de conteo de fotones, contador geiger, y gaz dinámica, pero no encontré ningún cálculo explícito de la varianza.

Dos tuve la idea de:

1/ el Estudio de los patrones Espacio-Temporales de la función de correlación de un campo de Browniano de partículas (ver Gardiner, los Métodos Estocásticos, eq. 13.3.22 por ejemplo):

$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-x^2/(4Dt)\right)$

en 1d. Debemos tener: $Var(T)=\lim_{x\rightarrow 0} \int_T\int_T G(x,t) dt dt'$. Sin embargo, la última expresión es difícil de calcular.

2/ el Uso de la probabilidad del tiempo de retorno a origen de movimiento Browniano (la correlación surgir de paso sucesivo de la misma partícula)

Cualquier idea o sugerencia será bien recibido !

Answer 1

La cantidad que usted está tratando es la hora local de el movimiento Browniano en un punto. Es bastante difícil tratar con los tiempos usely.

Lo que queremos calcular es la distribución de la cantidad $$\lambda(\vec r_0)=\int_0^t\delta^{(d)}\left(\vec r_0-\vec B_u\right)\mathrm du.\tag{1}$$ Tenga en cuenta que $\lambda$ es una densidad espacial de los tiempos, es la dimensión de $[L^{-d}T]$ donde $d$ es la dimensión del espacio.

Primer lugar, calcular la función característica del movimiento Browniano de partida en$\vec r=0$, $t>0$ $$\phi(\vec q,t)=\left\langle\exp\left[\mathrm i\vec q\cdot\vec B_t\right]\right\rangle= \int\mathrm e^{\mathrm i\vec q\cdot \vec r}\frac{\mathrm e^{-\vec r^2/4Dt}}{\left(4\pi Dt\right)^{d/2}}\mathrm d\vec r=\frac{\mathrm e^{-Dt\vec q^2}}{\left(4\pi Dt\right)^{d/2}}.\la etiqueta{2}$$

Ahora, podemos transformar el delta-función en (1) en una integral de Fourier gracias a la ecuación (2) y calcular el promedio de $\lambda(\vec r_0)$ $$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\left\langle\int_0^t\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot(\vec r_0-\vec B_u)}\mathrm du\right\rangle =\int_0^t\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot \vec r_0}\phi(\vec q,u)\mathrm du.$$ El promedio es por lo tanto $$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle =\int_0^t\frac{\mathrm e^{-\vec r_0^2/4Du}}{\left(4\pi Du\right)^{d/2}}\mathrm du.$$

No hay resultados exactos en uno de dos y tres dimensiones para el promedio.

En una dimensión, tenemos $$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\sqrt{\frac t{\pi D}}\mathrm e^{-\vec r_0^2/4Dt}-\frac{|\vec r_0|}{2D}\mathrm{erfc}\left(\frac{|\vec r_0|}{2\sqrt{Dt}}\right);$$

en dos dimensiones $$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\frac1{4\pi D}\Gamma\left(0,\frac{\vec r_0^2}{4Dt}\right)$$ ($\Gamma$ es la función gamma incompleta) y en tres dimensiones $$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\frac{1}{4\pi D|\vec r_0|}\mathrm{erfc}\left(\frac{|\vec r_0|}{2\sqrt{Dt}}\right)$$

He utilizado el mismo método en un reciente documento de para un puente Browniano.

Para calcular los $\left\langle\lambda(\vec r_0)^2\right\rangle$ utiliza el mismo cálculo de la técnica (que también se describe en el papel). Es necesario evaluar el $$\int_0^t\mathrm du\int_0^{t-u}\mathrm du'\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\frac{\mathrm d\vec q'}{(2\pi)^d} \mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot \vec r_0}\phi(\vec q,u)\phi(\vec q',u').$$

Pero la distribución que usted está buscando no está definido en las dimensiones de más de uno: una regularización de la longitud que se necesita. Esto viene a partir de las propiedades del movimiento Browniano.

En el caso de la Browian (el caso estudiado en el papel), una vez regularizada, la distribución es como usted dijo: "no hay un $\delta$-función, además de una función decreciente con la distancia. En tres dimensiones, la disminución de la función es una simple exponencial.

Answer 2

Una posibilidad es, tal vez, consideran que la probabilidad de flujo. En el origen de la modelización de movimiento Browniano o ecuación del calor, tiene una ecuación de conservación de la $\frac{\partial \rho}{\partial t} + div \vec j = 0$

Aquí $\rho(x,t)$ debe ser considerada como una densidad de probabilidad y $\vec j(x,t)$ como una probabilidad de flujo.

Entonces, suponiendo que una simple relación $\vec j = - D\vec \nabla \rho$, tenemos la costumbre de "calor" de la ecuación : $\frac{\partial \rho}{\partial t} - D \nabla^2 \rho = 0$, con el Kernel $G(x,t)$.

Por lo $\vec j(x,t)$ podría ser la cantidad en la que estás interesado. Si es así, las relaciones anteriores permiten tener simplemente a partir de la densidad de probabilidad $\rho(x,t)$