Un cúbicos plano gráfico con sólo un triángulo, dos plazas, cinco pentágonos, y algunos hexágonos no puede tener el triángulo rodeado por tres pentágonos. Podemos demostrar esto mediante el examen de los casos.
Como se dibuja una gráfica, vamos a llamar a un vértice con sólo dos incidentes bordes "abrir" (se puede añadir otro borde) y los vértices con tres bordes "completo".
Un triángulo rodeado por pentágonos tiene un anillo exterior de los seis vértices, alternando entre abierta y completa:
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Si todas las caras adyacentes son hexágonos, el anillo exterior de los vértices sigue siendo el mismo:
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Así que si tenemos cero o 100 de esos anillos de hexágonos, el efecto cuando por fin encuentro un cuadrado o un pentágono será el mismo.
Caso 1
Supongamos que tenemos un cuadrado:
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Ahora hay dos vértices. No hay una arista entre ellos (Caso 1a), tienen completamente separados de los bordes (Caso 1b), o cada uno tiene un borde para el mismo vértice (Caso 1c).
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En el caso (a), hay tres plazas, que es demasiado.
En el caso (b), las otras caras adyacentes a nuestra pentágonos tienen más de cinco aristas, por lo tanto, deben hexágonos. Pero esto crea un digon, lo cual está prohibido.
En el caso (c), nos encontramos con un vértice; la adición de un borde para esto crea un degenerado de la cara, que cruza el mismo borde dos veces, tener más de seis bordes, lo cual está prohibido.
Supongamos que tenemos un pentágono:
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Ahora los 3 bordes rojos forman parte de una cara $F$.
Caso 2
Si $F$ es un cuadrado, así:
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A continuación, todos los bordes exteriores son parte de una cara, que es un pentágono con un vértice izquierdo (imposible) o un degenerado cara (que cruzar el mismo borde dos veces) con más de seis bordes (imposible).
Caso 3
Si $F$ es un pentágono, así:
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a continuación, los cuatro azules bordes son parte de una cara con más de cuatro lados.
Hemos utilizado todos los cinco pentágonos, por lo que esta cara debe ser un hexágono:
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Pero luego tenemos una cara cuadrada con un vértice de la valencia de dos, o bien la adición de bordes convierte en un degenerado cara con demasiadas aristas, una imposibilidad.
Caso 4
Supongamos $F$ es un hexágono. Por la simetría de la cara en el otro lado no puede ser un cuadrado o un pentágono, por lo que también debe ser un hexágono, así:
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Sólo hay dos vértices.
Una arista entre ellos se crea un cuadrado con los bordes superiores, pero también un triángulo rectángulo con la parte inferior de dos filos, lo cual está prohibido.
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Hacer un pentágono en la parte superior en su lugar, tenemos una plaza en el exterior, pero al abrir el vértice restante nos obliga a añadir bordes, haciendo un degenerado cara con demasiados lados:
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Finalmente, se puede completar un hexágono en la parte superior:
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A continuación, los cuatro bordes verdes son parte de una cara. Si esta es la cara de un pentágono, a continuación, el borde superior negro es parte de un digon (prohibido). Si esta es la cara de un hexágono, a continuación, el borde superior negro es parte de un triángulo (prohibido).
Por lo tanto, a través del agotamiento de los casos, el gráfico deseado no puede existir.
Hay algunas soluciones que han de cuatro pentágonos en torno a una plaza.
La primera tiene dos hexágonos, y 16 vértices.
El otro tiene seis hexágonos y 22 de vértices.
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Como he explicado en los comentarios de cada uno de estos ejemplos se puede obtener un conjunto infinito de ejemplos de tomar la bitruncation de cada gráfico, que es el truncamiento de su doble. Esto tiene el efecto de sustitución de cada una de las $n$-gonal cara por un menor $n$-gon en el interior, rodeado de hexágonos que aparecen alrededor de cada vértice.
