Pruebalo $\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k}a^n = 0$

Question

Estoy trabajando con este problema pero no tengo ni idea de cómo solucionarlo. Aquí se fija $k$ y $0<a<1$.

Estaba tratando de usar eso $\lim_{n \to \infty} a^n =0$ y que $\binom{n}{k}\leq\frac{n^k}{k!}$ con la definición de $\epsilon$ para probarlo, mi intención era mostrar que $N$ grande suficiente $a^N < \frac{k!}{N^k}$ pero lo consiguió en ninguna parte. No sé si la definición es la mejor aproximación.

Answer 1

Sugerencia: Que $$p(x)=\frac{x(x-1)(x-2)\dots(x-k+1)}{k!}\;;$$ this is a polynomial of degree $k $, and $p (n) = \binom {n} k$ for $n\in\Bbb N$. Ahora

$$\lim_{n\to\infty}\binom{n}ka^n=\lim_{n\to\infty}\frac{p(n)}{(1/a)^n}\;,$$

donde el numerador crece polynomially, y el denominador crece exponencialmente.

Answer 2

Que $t_n$ ser el término de $n$-th. Cálculo demuestra eso %#% $ #% si $$\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{\binom{n+1}{k}a^{n+1}}{\binom{n}{k}a^n}=\frac{n+1}{n+1-k}a=\left(1+\frac{k}{n+1-k}\right) a.$ es bastante grande, $n$, $\left(1+\frac{k}{n+1}\right)a \lt b$ fijo. Así que después de un tiempo, cada vez que aumentamos el $b\lt 1$ $n$, $1$ disminuye por un factor de al menos $t_n$.