Especial de Woodbury identidad

Question

Deseo comprender transformaciones lineales del tipo $M = \left(\alpha I_n+ D^TD\right)^{-1}$

donde $\alpha \neq 0$ $D$ es un (rango completo) $k$ $n$ matriz. ($k<n$)

Mi entendimiento es que a pesar de $D^TD$ es singular y por lo tanto no tiene un inverso, $\left(\alpha I_n+ D^TD\right)^{-1}$ $\alpha \ll 1$ podría ser un "buen" aproximación. (o estoy equivocado?)

Idealmente me gustaría relacionar los vectores propios de a $M$ a mi original $D$ (probablemente depende también de $\alpha$) (véase la nota de pie de página [1])

Así que mi pregunta es: ¿Es posible calcular los autovalores y autovectores de la matriz $M$? ¿Hay algún hecho interesante que usted sabe acerca de estos tipos de matrices (pensando en ellos de transformaciones lineales)

Traté de usar Woodbury identidad para llegar a una expresión

$$M = \left(\alpha I_n+ D^TD\right)^{-1}\\ =\alpha^{-1}I_n - \alpha^{-1}D^T\left(I_k+\alpha^{-1}DD^T\right)^{-1}D\alpha^{-1}\\ =\alpha^{-1}I_n - \alpha^{-1}D^T\left(\alpha I_k+DD^T\right)^{-1}D\\ = \alpha^{-1}I_n - \alpha^{-1}D^T\left(\alpha^{-1}I_k - \alpha^{-1}D\left(\alpha I_n+D^TD\right)^{-1}D^T\right)D\\ = \alpha^{-1}I_n - \alpha^{-2}D^TD + \alpha^{-2}D^TD\left(\alpha I_n+D^TD\right)^{-1}D^TD\\ = \alpha^{-1}I_n - \alpha^{-2}D^TD + \alpha^{-2}D^TDMD^TD$$

y llegamos a una ecuación implícita para $M$ pero no podía resolver.

Cualquier ayuda es muy apreciada, ya sea en la búsqueda de una forma cerrada de solución o geométricos interpretaciones del efecto de la $M$

[1] Algunas experiencias iniciales con el simple $D$ me llevan a creer que las filas de a $D$ son vectores propios de a $M$ es esto posible?

Answer 1

Los autovalores de a $\alpha I + D^TD$ puede ser escrito como $\alpha + \lambda_j$, donde $\lambda_j$ son los autovalores de a $D^TD$, de los cuales al menos $n-k$ son cero. Los vectores propios de a $D^TD$ $\alpha I+ D^TD$ puede ser calculada por la derecha vectores singulares de $D$.

La matriz $(\alpha I+D^TD)^{-1}D^T$ es una aproximación de la inversa de la $D$ en el siguiente sentido: $\lim_{\alpha \searrow0}(\alpha I+D^TD)^{-1}D^T =D^\dagger$ donde $D^\dagger$ es el de Moore-Penrose de pseudo-inversa de a $D$, véase Moore-Penrose de pseudo-inversa.

La matriz $(\alpha I+D^TD)^{-1}D^T$ también aparece si se desea resolver un menos-cuadrado problema $\|Dx -y\|_2\to 0$ por la regularización de Tikhonov, donde por $\alpha>0$ el problema $$ \min \frac12\|Dx-y\|_2^2 + \frac\2\|x\|_2^2 $$ está resuelto. A continuación, $x$ resuelve este problema si y sólo si $$ (\alpha I + D^TD)x = D^Ty \quad \Leftrightarrow \quad x = (\alpha I + D^TD)^{-1}D^Ty. $$