Los números con la propiedad $\overline{a_1a_2a_3a_4\dots a_n}=a_1+a_2^2+a_3^3...a_n^n$

Question

Tengo un par de preguntas acerca de los números que satisfacen una cierta propiedad. Los números tienen la propiedad de que $\overline{a_1a_2a_3a_4\dots a_n}=a_1+a_2^2+a_3^3...a_n^n$ donde $\overline{a_1a_2...a_n}$ es la representación decimal del número. Estos son los números como... $$518=5+1^2+8^3\\135=1+3^2+5^3 \\175=1+7^2+5^3\\598=5+9^2+8^3$$

1. Hacer estos números tienen un nombre?
2. Hay infinitamente muchos de ellos?
3. ¿Hay alguna fórmula para calcular?

Answer 1

1 Hacer que estos números tienen un nombre?

Yo no soy consciente de que estos números de tener un nombre especial, así que vamos a llamar Joao números por ahora.

2 hay infinitamente muchos de ellos?

Tenga en cuenta que $a_1+a_2^2+a_3^3+\cdots + a_n^n \le 9+9^2+9^3+\cdots + 9^n = \dfrac{9}{8}(9^n-1)$

y que $\overline{a_1a_2a_3\cdots a_n} = a_110^{n-1} + a_210^{n-2} + \cdots + a_n \ge 10^{n-1}$.

Así Joao números que existen sólo para $n$ tal que $10^{n-1} \le \dfrac{9}{8}(9^n-1)$, es decir,$n \le 22$.

Por lo tanto, no hay Joao número mayor que $10^{22}$, y por lo tanto, hay un número finito de Joao números.

3 ¿hay alguna fórmula para calcular?

Una forma de calcular todos los Joao números es comprobar cada número hasta el $10^{22}$. Sin embargo, esto es severamente computacionalmente intensivas. No te lo recomiendo a menos que tengas un superordenador.