¿Podemos expresamos $\sin 1^\circ$ en una forma real cerrado, no repetitivo, radical?

Question

¿Podemos expresamos $\sin 1^\circ$ en un real cerrado, no repetitivas formas radicales? Cualquier forma radical significa que usted puede utilizar cualquier raíces pero sin constantes $\pi$, $e$ y otras funciones de trigonometría.

Answer 1

En principio, sí.

Este papel le da un valor de $\sin 3^{\circ}$: $$\sin 3^{\circ} = \frac{1}{4} \sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \, .$$

Por otra parte, tenemos el triple de ángulo de identidad para $\sin$, lo que voy a sugestivamente escribir como: $$ 4 \sin^3 \theta-3 \sin \theta + \pecado 3\theta=0 \, . $$

La combinación de estos, se puede ver que $x=\sin 1^{\circ}$ es una raíz del polinomio cúbico $$ 4x^3-3x+ \frac{1}{4} \sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}} = 0\, . $$

Entonces, usted puede utilizar el cúbicos fórmula para encontrar una forma cerrada de la expresión de $\sin 1^\circ$ que utiliza sólo los radicales.

Dos advertencias:

• Cuando se utiliza el cúbicos fórmula en un polinomio con tres raíces reales, la expresión radical usted debe obtener siempre implican números complejos. Este va a ser el caso aquí, ya que $\sin 121^\circ$ $\sin 241^\circ$ también deben ser raíces de un mismo polinomio. Así que si quieres expresar $\sin 1^\circ$ en términos de los radicales, utilizando sólo los números reales, estás de suerte.
• La expresión que se obtiene será tan terriblemente complicado como para ser totalmente inútil para cualquier práctica o computacional de propósito.

Answer 2

FWIW, el polinomio mínimo de a $\sin(\pi/180)$ sobre los racionales es $$ 281474976710656\,{z}^{48}-3377699720527872\,{z}^{46}+18999560927969280 \,{z}^{44}-66568831992070144\,{z}^{42}+162828875980603392\,{z}^{40}- 295364007592722432\,{z}^{38}+411985976135516160\,{z}^{36}- 452180272956309504\,{z}^{34}+396366279591591936\,{z}^{32}- 280058255978266624\,{z}^{30}+160303703377575936\,{z}^{28}- 74448984852135936\,{z}^{26}+28011510450094080\,{z}^{24}- 8500299631165440\,{z}^{22}+2064791072931840\,{z}^{20}-397107008634880 \,{z}^{18}+59570604933120\,{z}^{16}-6832518856704\,{z}^{14}+ 583456329728\,{z}^{12}-35782471680\,{z}^{10}+1497954816\,{z}^{8}- 39625728\,{z}^{6}+579456\,{z}^{4}-3456\,{z}^{2}+1 $$

EDIT: la expresión explícita obtenidos a partir de Micah cúbico no es del todo malo: $$ \frac{-1-\sqrt{3}} {4} v^{1/3} + \frac{-1+\sqrt{3}} {4} v^{-1/3} $$ donde $$v=-\frac{1}{4}\sqrt {8-\sqrt {3}-\sqrt {15}-\sqrt {10-2\,\sqrt {5}}}+\frac{i}{4} \sqrt {8+\sqrt {3}+\sqrt {15}+\sqrt {10-2\,\sqrt {5}}} $$

Answer 3

Si estamos autorizados a utilizar los números complejos, entonces seguro. Tenga en cuenta que $\sin(1 ^\circ)=\sin(\pi/180)=\frac{e^{i \pi / 180} - e^{-i \pi/180}}{2i}$. Podemos expresar el $e^{i \pi/180} = (-1)^{1/180}$ y $e^{-i \pi/180} = -(-1)^{179/180}$. Por lo que el resultado es $\sin(1^\circ) = -\frac{1}{2} (-1)^{1/2}((-1)^{1/180}+(-1)^{179/180})$

Answer 4

Desde $(-1)^{89/180}=\cos(89^\circ)+i\sin(89^\circ)$, obtenemos $$ \pecado(1^\circ)=\cos(89^\circ)=\frac12\a la izquierda((-1)^{89/180}+(-1)^{-89/180}\right)\etiqueta{1} $$ Sin embargo, creo que más en consonancia con el espíritu de la pregunta, si empezamos con $\sin(6^\circ)=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}8$ y aplicar $$ \sin\left(\frac x2\right)=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-\sin^2(x)}}2}\etiqueta{2} $$ y $$ \sin\left(\frac x3\right)=\frac{\sqrt[\Large3]{-\sin(x)+\sqrt{\sin^2(x)-1}}+\sqrt[\Large3]{-\sin(x)-\sqrt{\sin^2(x)-1}}}2\tag{3} $$ llegamos $\sin(1^\circ)$. Por supuesto, aún podemos entrar en el reino de los números complejos al aplicar el $(3)$.

Answer 5

Bien se pueden construir un Pentágono regular y un triángulo equilátero inscrito en un círculo con regla y compás (equivalente a tomar raíces cuadradas), que se obtiene ángulos de $72 ^\circ$ y $60^\circ$ - usted puede conseguir pecado y lechuga romana de ambos ángulos, por lo que puede llegar el pecado y lechuga romana de la diferencia de $12^\circ$. Se puede reducir a la mitad dos veces para llegar al $3^\circ$, y entonces usted necesita para resolver una cúbica, que es soluble por radicales.