Estoy estudiando espacios métricos y sé que en un espacio normado $E$ un mapa $T:E \to E$ es contínuo si y sólo si $T(x_n) \to T(x)$ para toda secuencia convergente $x_n \to x$ en $E$ . En mis notas hay un comentario que afirma que este resultado no es válido en un espacio topológico general.
¿Alguien sabe cuáles son los hipótesis mínimas en un espacio topológico para que la afirmación anterior sea cierta?
Necesitas una base contable de vecinos para cualquier punto.
En efecto, supongamos $E$ tiene base contable $\{U_n^x\}$ de vecindades para cualquier punto $x$ .
1) $T$ es continua en secuencia implica $T$ es continua.
Prueba. Sea $A$ sea un conjunto abierto. Si $B=T^{-1}(A)$ no está abierto hay $x\in B$ que no es interior. Así, para cualquier $U_{k}^x$ que contiene $x$ hay $x_k\in U_k^x$ , $x_k\notin B$ . Claramente $x_k\to x$ pero $T(x_k)\notin A$ mientras que $T(x)\in A$ . Así que no podemos tener $T(x_k)\to T(x)$ .
2) $T$ es continua implica $T$ secuencia continua. (para eso no se necesita ninguna hipótesis adicional)
Prueba. Sea $x_n\to x$ . Para cualquier conjunto abierto $U$ que contiene $x$ , $T^{-1}(U)$ está abierto, por lo que $x_n\in T^{-1}(U)$ para $n$ suficientemente grande. Dado que esto es válido para cualquier $U$ esto implica que $T(x_n)\to x$ .
3) por otra parte, si $E$ no tiene base contable, las secuencias indexadas por $\mathbb N$ no dicen nada sobre la continuidad
4) puede utilizar espacios con "base de orden de tipo $\alpha$ "junto con $\alpha$ -para la continuidad y la prueba funciona igual.
En condición mínima en un espacio $X$ tal que cada función de $X$ es continua si y sólo si es secuencialmente continua es que $X$ sea secuencial .
Los primeros espacios contables son secuenciales. Por tanto, una función de un espacio de primer recuento es continua si y sólo si es secuencialmente continua.
Un espacio se denomina secuencial si cada abrir secuencialmente está abierto. Y un subconjunto de un espacio topológico se llama secuencialmente abierto si toda secuencia convergente con su límite en el subconjunto está eventualmente en el subconjunto.
He aquí una prueba de la equivalencia:
Toda función continua es trivialmente continua secuencial. Sea ahora $f:X\rightarrow Y$ sea secuencialmente continua. Sea $U\subseteq Y$ sea un conjunto abierto. Tenemos que demostrar que $f^{-1}(U)$ está abierto. Suponiendo que $X$ es secuencial, basta con demostrar que $f^{-1}(U)$ es secuencialmente abierta. Sea $\{x_n\}$ sea una sucesión convergente con límite $x$ tal que $x\in f^{-1}(U)$ . Tenemos que demostrar que $\{x_n\}$ es finalmente en $f^{-1}(U)$ . Desde $f$ es secuencialmente continua, tenemos que $\{f(x_n)\}$ converge a $f(x)$ . Así, para cada vecindario $V$ de $f(x)$ (incluyendo $U$ ) existe un $N$ tal que para cada $n\geq N$ tenemos $\{f(x_n)\}_{n\geq N}\subseteq V$ . En particular, existe un $N$ tal que para todo $n\geq N$ tenemos $f(x_n)\subseteq U$ . Así $$\{x_n\}_{n\geq N}\subseteq\{f^{-1}(f(x_n))\}_{n\geq N}\subseteq f^{-1}(U)$$ Así $f^{-1}(U)$ es secuencialmente abierto y abierto. Por lo tanto $f$ es continua.
Entonces $X$ contiene un conjunto secuencialmente abierto $U$ que no está abierto. Sea $Y=\{0,1\}$ y que $\mathcal T=\{\varnothing, \{0\}, Y\}$ . Defina la función $f:X\rightarrow Y$ por $$f(x)=\begin{cases}0 & \text{ if } x\in U\\1 &\text{ if } x\in X\setminus U\end{cases}$$ Entonces $f$ es secuencialmente continua, ya que $f^{-1}(\{0\})$ es secuencialmente abierto, pero $f$ no es continua, ya que $f^{-1}(\{1\})=X\setminus U$ no está cerrado en $X$ . Por tanto, existe una función secuencialmente continua fuera de $X$ que no es continua.
Ya está bien de tener $E$ ser primero contable, es decir, en cada $x\in E$ necesitamos una base contable $\{U_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ de barrios abiertos de $x$ . La prueba más sencilla utiliza que una función $f$ es continua sólo si $f\left( \overline{A}\right)\subset \overline{f\left(A\right)}$ para cada $A\subset E$ . En un primer espacio contable $\bar A$ son exactamente los puntos límite de secuencias en $A$ .
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