En primer lugar, su presentación parece un poco confusa. Creo que usted está argumentando lo siguiente:
Deje $I$ ser un ideal distinto de cero en un dominio de Dedekind $R$. A continuación, $I$ admite una factorización en números primos $I = \mathfrak{p}_1^{a_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{a_r}$. Ahora se observa que (por ejemplo, por el Teorema del Resto Chino, o Artin-Whaples aproximación) existe un elemento $x \in R$ tal que para todo $1 \leq i \leq r$, $\operatorname{ord}_{\mathfrak{p}_i}(x) = a_i$. Finalmente usted desea reclamar que $I = (x)$. (Espero que estoy entendiendo correctamente).
El problema es con el último paso: no tiene que ser el caso que $I = (x)$. Se han aplicado las que para todos los $1 \leq i \leq r$, $\operatorname{ord}_{\mathfrak{p}_i}(x) = \operatorname{ord}_{\mathfrak{p}_i}(I) = a_i$. Pero, ¿qué acerca de todos los otros primer ideales de $R$? El Teorema del Resto Chino no decir que se puede encontrar como un $x$ que es divisible por el conjunto de los números primos prescribe las multiplicidades y no es divisible por ningún otro primer ideales de $R$: de hecho, como usted ha notado, este es necesariamente falsa en cualquier dominio de Dedekind, que no es un PID.
Sin embargo, el argumento anterior no hace probar algo. De hecho, se demuestra varias cosas:
1) ("Moviendo el Lema") Dado cualquier valor distinto de cero ideal $I$ en un dominio de Dedekind y cualquier conjunto finito $S$ de distinto de cero el primer ideales de $R$ existe $0 \neq x$ en la fracción de campo $K$ de manera tal que la fracción ideal $(x) I$ no es divisible por cualquier $\mathfrak{p} \in S$.
Esto implica:
2) Si $R$ tiene sólo un número finito de primer ideales, entonces es un PID.
De hecho también implica:
3) Si todos, pero un número finito de primer ideales de $R$ son principales, entonces todo el primer ideales de $R$ son principales y por lo tanto $R$ es un PID.
Hecho 2) de arriba es un ejercicio estándar en este tema. Por alguna razón, 3) es: no parece haber sido grabado por Lutero Claborn en la década de 1960: ver Corolario 1.6 aquí. He "redescubierto" un par de años atrás, cuando la enseñanza de un curso en teoría algebraica de números. Para apreciar mejor el resultado, tenga en cuenta que el anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tiene infinidad de primer ideales, exactamente uno de los cuales es no principal. Pero no es un dominio de Dedekind, ya que no es integralmente cerrado en su campo de fracción.
