Los personajes de un Grupo: dos definiciones

Question

Si $G$ es un abelian grupo, los caracteres asociados a la rapresentations de $G$ $\textrm{GL}_1(\mathbb C)=\mathbb C^\ast$ son simplemente el grupo homomorphisms:

$$\chi:G\longrightarrow\mathbb C^\ast$$

Por el contrario, si $G$ es un grupo topológico (asumir localmente compacto) a continuación, un personaje es una continua homomorphism: $$\chi':G\longrightarrow\mathbb R/\mathbb Z\cong S^1$$

¿Por qué tenemos dos aparentemente diferentes definiciones? Sé que el rango de $\chi$ (primera definición) es $S^1$ sólo al $G$ es finito.

Answer 1

De acuerdo con Adam en los comentarios: si el más grande codominio $\Bbb C^*$ tenemos lo que la teoría de los números término de un quasicharacter, al menos por lo que he leído. Cierto, desde el punto de vista de la teoría de la representación, es sólo un carácter unidimensional. Sin embargo, para la comodidad y la elegancia que a veces imponer unitarity en nuestras representaciones, y la estipulación de que el codominio ser $S^1$ es esencialmente diciendo: queremos que sea una unitaria dimensiones de la representación.

KCd en otro hilo estados porqué $U(1)$ es tan útil: es el "universal dualizer," que es de donde obtenemos la dualidad de Pontryagin. Precisamente: $G\cong\hom(\hom(G,A),A)$ para todos los loc. comp. $G$ fib $A=U(1)$.