Supongamos que $M$ es un camino conectado a un colector liso, así que cualquier dos puntos $p,q \in M$ puede unirse con una curva continua en $M$ . ¿Es cierto que dos puntos cualquiera pueden ser unidos con un liso (Quiero decir $C^{ \infty }$ ) curva en $M$ ?
Respuesta
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No hay necesidad de una división de la unidad. Deje que $ \gamma $ ser un camino desde $p$ a $q$ no necesariamente suave. Tome finamente muchos gráficos locales que cubren la imagen compacta de $ \gamma ([0,1])$ . Llama a estos gráficos locales $U_1, \cdots , U_n$ . Hemos ordenado estos gráficos para que el solapamiento entre $U_{i}$ y $U_{i+1}$ no está vacía, sino que en algún momento $r_i$ . Pragmáticamente, puedes hacer esto retirando el $U_i$ a una portada de $[0,1]$ por el $ \gamma ^{-1}(U_i)$ y luego los ordena por los puntos de la izquierda. Ahora, en cada uno de estos gráficos locales el múltiple se ve como $ \mathbb {R}^n$ para que podamos encontrar un camino suave desde $p$ a $r_1$ en $U_1$ entonces un camino suave desde $r_1$ a $r_2$ en $U_2$ etc. La conexión de todos estos caminos suaves nos da un camino suave desde $p$ a $q$ .
