Deje $\mathbb Q\le K$ finito extensión de los campos de $\alpha\in K$. A continuación, $N(\alpha)=\pm1\Leftrightarrow\alpha$ es una unidad

Question

Deje $\mathbb Q\le K$ (donde $K\le\mathbb C$) de un número finito de extensión (decir $|K:\mathbb Q|=n$) de los campos y deje $\alpha\in K$ ser un entero algebraico, es decir, $\alpha$ es una raíz de un monic polinomio sobre $\mathbb Z$; vamos a llamar a $\mathbb A$ el (que de hecho es un anillo) de los enteros algebraicos de $\mathbb C$. Por lo tanto, hemos escogido $\alpha\in\mathbb A\cap K$.

Sabemos que existe $\beta\in K$ s.t. $K=\mathbb Q(\beta)$. Llame a $f\in\mathbb Q[X]$ el polinomio mínimo de a$\beta$$\mathbb Q$, claramente $\partial f=n$ e tiene $n$ raíces distintas (en algunos extensión de $K$ o en $K$ si suponemos que es normal que más de $\mathbb Q$). Entonces hay exactamente $n$ incrustaciones de $K$ $\mathbb C$ (una incrustación es una inmersión $K=\mathbb Q(\beta)\hookrightarrow\mathbb C$ s.t. $q\mapsto q\;\;\forall q\in\mathbb Q$ $\beta$ va a una de las $n$ raíces de $f$; claramente si $K$ es normal, a continuación, las incrustaciones son automorfismos de a $K$); llamarlos $\sigma_i,\;i=1,\dots,n$.

Así que ahora podemos definir una norma en $K$: $N(\alpha):=\sigma_1(\alpha)\cdots\sigma_n(\alpha)\;\;\forall \alpha\in K$.

Así que ahora podemos afrontar el "problema" (sé que debe ser casi una tontería, pero yo no puedo conseguir que encontrar una manera de salir!):

dado $\alpha\in\mathbb A\cap K$, demostrar que $$ N(\alpha)=\pm1\Longleftrightarrow\alpha\;\; \mbox{es una unidad en}\;\; \mathbb A\cap K\;. $$ He resuelto $\Leftarrow\;$: por hipótesis existe $\alpha^{-1}\in\mathbb A\cap K$; a continuación, $$ \alpha\alpha^{-1}=1\Longrightarrow\;1=N(1)=N(\alpha\alpha^{-1})=N(\alpha)\left(N(\alpha)\right)^{-1}. $$ Observe ahora que $\alpha\in\mathbb A$ por lo tanto, en particular, es una raíz de un polinomio sobre $\mathbb Z$. Entre tales polinomios, tomando el de menor grado, podemos ver que debe ser irreductible. Esta es la mínima polinomial de $\alpha$. Por lo tanto $N(\alpha)$ será el término constante de este polinomio, por lo $N(\alpha)\in\mathbb Z$.

Por lo tanto $N(\alpha)=\pm1$.

Pero, ¿cómo puedo probar que la otra implicación? Gracias a todos

Answer 1

(Extendido) Sugerencia: Suponga que el $\alpha$ es un entero algebraico con $N(\alpha)=\pm1$. Entonces, el polinomio mínimo $f(x)$ $\alpha$ es algo así como $$ f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\en\Bbb{Z}[x]. $$ Mostrar que aquí $a_0=\pm1$. Mostrar que al multiplicar la ecuación de $f(\alpha)=0$ $\alpha^{-1}$ permite resolver la $\alpha^{-1}=p(\alpha)$ durante un cierto polinomio $p(x)\in\Bbb{Z}[x]$.

Otra opción es utilizar el hecho de que el polinomio mínimo de a $\alpha^{-1}$ es el polinomio recíproco $$ \tilde{f}(x)=x^nf(\frac1x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots a_{n-1}x+1. $$

Answer 2

Has hecho bien con una dirección, por el otro, podemos utilizar los hechos de que el producto algebraico de números enteros es un entero algebraico (que se deduce del hecho de que la algebraica de números enteros de un campo de número formar un anillo) y el hecho de que cualquier $\mathbb{Q}$-homomórfica de la imagen de una expresión algebraica entero es también un entero algebraico.

Así que supongamos $N(\alpha) = 1$. Podemos re-escribir esto como $\Pi_{i=1}^n\sigma_i(\alpha)=1$, de donde $\sigma_1(\alpha^{-1})=\Pi_{i=2}^n\sigma_i(\alpha)$. En particular, en la parte derecha de este se encuentra en $\sigma_1(K)$, por lo que podemos aplicar el $\sigma_1^{-1}$* para obtener el $\alpha^{-1}=\sigma_1^{-1}(\Pi_{i=2}^n\sigma_i(\alpha))$. Los hechos en el primer párrafo muestran que esta expresión para $\alpha^{-1}$ es un entero algebraico, por lo $\alpha$ es una unidad en el anillo de los números enteros.

Un pequeño punto: Si asumimos $K \subset \mathbb{C}$, a continuación, uno de los $\sigma_i$ será la identidad, la cual nos puede llevar a ser $\sigma_1$ a simplificar la prueba un poco. Sin embargo, no hay ninguna razón un número de campo debe ser un subcampo de la $\mathbb{C}$. Muy a menudo, el uso de su notación, nos damos cuenta de $K=\mathbb{Q}(\beta)$$\mathbb{Q}[X]/(f)$, desde este punto de vista le da una buena manera de escribiendo explícitamente los elementos de $K$, y de tratar con homomorphisms de $K$. Con esta perspectiva en mente, no hay un "especial" $\sigma_i$, por lo que la prueba se ve un poco más complicado.

*Recordar que el campo homomorphisms son inyectiva, por lo que se isomorphisms en su imagen.

Answer 3

Si $$ \alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\ldots +a_1\alpha+a_0=0$$ entonces $$ \alpha\cdot(\alpha^{n-1}+a_{n-1}\alpha^{n-2}+\ldots +a_1)=-a_0$$