Un grupo abeliano de orden 6 tiene exactamente un elemento de orden 2

Question

Intento demostrar que un grupo abeliano de orden 6 tiene exactamente un elemento de orden 2.

Sé que hay al menos uno por el Teorema de Cauchy, así que estoy tratando de demostrar que no hay más de uno por contradicción.

Supongamos que hay $a,b, a \neq b$ tal que $a^2 = b^2 = e$ . Entonces también $ab$ tiene orden $2$ por lo que nos quedan dos elementos (aparte de $e, a, b, ab$ ) de las cuales al menos una, digamos $c$ tiene orden $3$ por Cauchy. Entonces $ac$ tiene orden $6$ pero también $bc$ tiene orden $6$ y sólo hay un elemento de orden 6 (ya que $e$ tiene orden 1, $a, b, ab$ tienen orden 2, y $c$ tiene orden 3) por lo que $ac = bc$ y por lo tanto $a = b$ . Esto es una contradicción.

¿Es correcta esta prueba? ¿Existe una prueba "mejor"? ¿Una sin el Teorema de Cauchy?

Answer 1

Como se tiene el teorema de Cauchy, un argumento algo más corto es observar que hay elementos $a$ y $b$ de pedidos $2$ y $3$ respectivamente, y $ab$ tiene orden $6$ por lo que el grupo es cíclico de orden $6$ con $ab$ como generador. Es entonces inmediato que $(ab)^3=a$ es el único elemento de orden $2$ .

Añadido: De hecho, se puede hacer esto sin el teorema de Cauchy. Sea $G$ sea el grupo. Si $G$ es cíclico, hemos terminado. Si hay $a\in G$ de orden $2$ entonces $G/\langle a\rangle$ tiene orden $3$ por lo que existe un $b\in G$ tal que $b^3\in\langle a\rangle$ . Pero entonces $b^3=e$ y $ab$ tiene orden $6$ o $b^3=a$ y $b$ tiene orden $6$ . Un argumento similar sirve para el caso de un elemento en $G$ de orden $3$ .

Answer 2

Sí, esta prueba es correcta.

Otro enfoque podría ser observar que los elementos de orden una potencia de dos deben formar un subgrupo, y que el orden de este subgrupo debe dividir el orden del grupo.