Diferenciación de $s=\sum\limits_{-\infty}^{\infty} {1\over (x-n)^2}$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $s=\sum\limits_{-\infty}^{\infty} {1\over (x-n)^2}$ en $x\not\in \mathbb Z$ es diferenciable sin utilizar su forma compacta? Me doy cuenta de que la secuencia de sumas $s_a=\sum\limits_{-a}^{a} {1\over (x-n)^2}$ no es uniformemente convergente.

También traté de demostrar que es continua utilizando el habitual $\varepsilon \over 3$ método. Y parece que se aplica porque cada $s_a$ es continua y convergen puntualmente a $s$ . Pero entonces me di cuenta de que esta no debe ser la prueba correcta porque no utilicé ninguna propiedad especial de las funciones dadas y el caso general sólo funciona para la convergencia uniforme. Estoy muy confundido. Por favor, ayúdenme.

En realidad, me doy cuenta de que si pudiera demostrar la diferenciabilidad, la continuidad se deduce.

Gracias.

Answer 1

Hay un teorema que enseñan en las clases de análisis de grado que dice que si $\{f_n(x)\}$ son $C^1$ funciones en un intervalo $[a,b]$ tal que $|f_n(x)| \leq M_n$ y $|f_n'(x)| \leq N_n$ donde $\sum_n M_n$ y $\sum_n N_n$ son ambos finitos, entonces $\sum_n f_n(x)$ es una función diferenciable cuya derivada es $\sum_n f_n'(x)$ .

Puedes aplicar este resultado a tus series en cualquier intervalo $[k + \epsilon, k + 1 - \epsilon]$ ; si $n \geq 2|k| + 2$ por ejemplo ${1 \over (x - n)^2} \leq {4 \over n^2}$ y de forma similar la derivada ${2 \over (x - n)^3}$ es de valor absoluto como máximo ${16 \over |n|^3}$ Estas desigualdades se derivan del hecho de que $|x| \leq {n \over 2}$ y por lo tanto $|x - n| \geq {n \over 2}$ cuando $x$ está en el intervalo $[k + \epsilon, k + 1 - \epsilon]$ . (Los términos de cualquiera de las dos series cuando $n < 2|k| + 2$ tienen límites uniformes en el intervalo simplemente porque son continuos. Por lo tanto, estos términos anteriores no afectan a la aplicabilidad del resultado).

Obsérvese que el mismo argumento aplicado repetidamente muestra que la función límite es $C^{\infty}$ y hay una versión analítica de esto que muestra que la función resultante es analítica excepto en los enteros.

Answer 2

Bien, sólo para ser exóticos (?), veamos si podemos obtener esto del teorema de Morera. Sea $C$ sea una curva simple y cerrada que no rodea ningún número entero ni pasa por ningún número entero. Entonces $$ \int\limits_C \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(x-n)^2}\;dx = \sum_{n=-\infty}^\infty\ \int\limits_C \frac{1}{(x-n)^2}\;dx = \sum_{n=-\infty}^\infty 0 = 0. $$ La primera igualdad se desprende del teorema de Fubini.*

La segunda igualdad se deduce del hecho de que $C$ no se enrolla alrededor de ningún punto donde la función holomorfa $x\mapsto 1/(x-n)^2$ se comporta mal (no es holomorfo).

El teorema de Morera dice que si la integral de una función a lo largo de toda curva simple cerrada que no rodea ningún punto que no esté en el dominio es $0$ entonces la función es holomorfa.

* Nota posterior: ¿Se cumplen las hipótesis del teorema de Fubini? Los términos de la suma son no negativos y la suma converge a un número finito. Si se puede demostrar que depende continuamente de $x$ entonces la integral es la de una función continua sobre un conjunto compacto, por lo que también es finita.

Sin embargo, ahora se me ocurre que no necesitamos entrar en eso, porque la no negatividad significa que podemos citar Teorema de Tonelli en su lugar. Eso dice que se puede intercambiar el orden de dos integraciones de Lebesgue para funciones que son en todas partes no negativas, independientemente de que el valor de la integral sea finito o infinito.