Aquí es otra prueba de Boris Springborn de notas de la conferencia de la universidad técnica de Berlín, que utiliza la matriz de Gram para obtener el lado coseno del ángulo coseno y más de cuatro ecuaciones simultáneas permutaciones de $a,b,c$$\alpha^\prime, \beta^\prime,\gamma^\prime$.
Prueba:
Deje $V = \left(A \ B \ C\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ ser la matriz cuyas columnas son los vértices del triángulo esférico, cosidered como vectores columna. A continuación, la matriz de Gram para $A,B,C$ es $$
G = V^TV= \begin{pmatrix}
\langle A,A\rangle & \langle A,B\rangle & \langle A,C\rangle \\
\langle B,A\rangle & \langle B,B\rangle & \langle B,C\rangle \\
\langle C,A\rangle & \langle C,B\rangle & \langle C,C\rangle \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & \cos c & \cos b \\
\cos c & 1 & \cos a \\
\cos b & \cos a & 1 \\
\end{pmatrix}.
$$
(Nota para más tarde ese $\mathrm{det}(G) > 0$). Igualmente, os $W = \left( A^\prime \ B^\prime \ C^\prime \right)$ ser la matriz de polos. Su matriz de Gram es de $$
G^\prime = W^TW = \begin{pmatrix}
\langle A^\prime,A^\prime\rangle & \langle A^\prime,B^\prime\rangle & \langle A^\prime,C^\prime\rangle \\
\langle B^\prime,A^\prime\rangle & \langle B^\prime,B^\prime\rangle & \langle B^\prime,C^\prime\rangle \\
\langle C^\prime,A^\prime\rangle & \langle C^\prime,B^\prime\rangle & \langle C^\prime,C^\prime\rangle \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & \cos \gamma^\prime & \cos \beta^\prime \\
\cos \gamma^\prime& 1 & \cos \alpha^\prime \\
\cos \beta^\prime & \cos \alpha^\prime & 1 \\
\end{pmatrix}.
$$.
También,
$$
W^TV= \begin{pmatrix}
\langle A^\prime,A\rangle & \langle A^\prime,B\rangle & \langle A^\prime,C\rangle \\
\langle B^\prime,A\rangle & \langle B^\prime,B\rangle & \langle B^\prime,C\rangle \\
\langle C^\prime,A\rangle & \langle C^\prime,B\rangle & \langle C^\prime,C\rangle \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\langle A^\prime,A\rangle & 0 & 0 \\
0 & \langle B^\prime,B\rangle & 0 \\
0 & 0 & \langle C^\prime,C\rangle \\
\end{pmatrix} =\colon D.
$$ is a diagonal matrix with positive entries. So $W^T = DV^{-1}$ and $W = (V^t)^{-1}D$, and $$
G^\prime = DV^{-1}(V^T)^{-1}D = D(V^TV)^{-1}D = DG^{-1}D. \quad (\estrellas)
$$
La inversa de a $G$ es $$
G^{-1} = \frac{1}{\det(G)}\begin{pmatrix}
\sin^2 a & -\cos c + \cos a \cos b & - \cos b + \cos c \cos a \\
-\cos c + \cos a \cos b & \sin^2 b & -\cos a + \cos b \cos c \\
- \cos b + \cos c \cos a & -\cos a + \cos b \cos c & \sin^2 c
\end{pmatrix}.
$$
Sustituir esto en $(\star)$ y considerar los elementos de la diagonal:
Uno encuentra $1 = D_{11}^{2} \frac{1}{\mathrm{det}(G)}\sin^2 a$, por lo $D_{11} = \frac{\sqrt{\mathrm{det}(G)}}{\sin a}$, andsimilarly $D_{22} =\frac{\sqrt{\mathrm{det}(G)}}{\sin b}$,$D_{33} = \frac{\sqrt{\mathrm{det}(G)}}{\sin c}$. Ahora pensemos, por ejemplo, el elemento$(3,2)$$(\star)$: $$
\cos \alpha^\prime = D_{33}\frac{1}{\mathrm{det}(G)}\left(-\cos a + \cos b \cos c \right)D_{22}. \qquad \text{(a Convencer a ti mismo!)}
$$
Este es el lado teorema del coseno: $\cos \alpha^\prime = \frac{-\cos a + \cos b \cos c}{\sin b \sin c}$. El ángulo coseno es el teorema de al lado coseno teorema aplicado a la polar triángulo. Por lo tanto, $\cos a = \frac{-\cos \alpha^\prime + \cos \beta^\prime \cos \gamma^\prime}{\sin \beta^\prime \sin \gamma^\prime}$.
