He aquí un argumento heurístico de la clase que Hurkyl menciona en un comentario que le da un valor distinto de cero "probabilidad" para todos los números de Euclides para ser squarefree.
La "probabilidad" para un gran número de squarefree es
$$
\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac1{p_n^2}\right)=\frac6{\pi^2}\;,
$$
donde $p_n$ $n$- ésimo primo. Los números de Euclides crecen tan rápido que podemos asintóticamente llevan a ser grandes números en el sentido de que podrían ser potencialmente divisible por los cuadrados de todos los números primos. (Cualquier error incurrido por esta aproximación sólo hará que nos subestimar su "probabilidad" de ser squarefree.) Sin embargo, por la construcción de $E_n$ no es divisible por el primer $n$ números primos. Por lo tanto, el $n$-th prime ha $n-1$ las posibilidades de su plaza de la división de un número de Euclides. Que hace el a priori de la "probabilidad" de todos los números de Euclides se squarefree aproximadamente
$$
\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac1{p_n^2}\right)^{n-1}\;.
$$
Los primeros términos de este producto deben ser tomadas con un gran bulto de sal, pero no estamos interesados en ellos, sólo en el comportamiento asintótico y en la parte izquierda después de Hagen exploración hasta el $p_{45}=197$. Dado que Hagen encontrar todos los números de Euclides a a $n=45$ a ser squarefree, cada primer ahora ha $45$ menos de posibilidades para su plaza para dividir un número de Euclides, por lo que el a posteriori "probabilidad" para todos los números de Euclides para ser squarefree es
$$
\prod_{n=47}^\infty\left(1-\frac1{p_n^2}\right)^{n-46}=\left(\frac{\pi^2}6\prod_{n=1}^{46}\left(1-\frac1{p_n^2}\right)\right)^{46}\prod_{n=47}^\infty\left(1-\frac1{p_n^2}\right)^n\;.
$$
El factor de corrección antes de que el infinito producto es sólo acerca de la $1.035$ (cálculos 1 y 2), por lo que podemos centrarnos en el infinito del producto y de la aproximación, utilizando asintótica resultados para un gran $n$:
$$
\begin{align}
\prod_{n=47}^\infty\left(1-\frac1{p_n^2}\right)^n
&\approx\prod_{n=47}^\infty\left(1-\frac1{(n\log n)^2}\right)^n
\\
&\approx\prod_{n=47}^\infty\exp\left(-\frac1{n\log^2 n}\right)
\\
&\approx\exp\left(-\int_{47}^\infty\frac1{x\log^2 x}\mathrm dx\right)
\\
&=\exp\left(-\frac1{\log47}\right)
\\
&\approx0.77\;.
\end{align}
$$
Por lo tanto, junto con el factor de corrección de alrededor de $1.035$, ahora hay sólo aproximadamente un $1$ $5$ de probabilidad de encontrar un número de Euclides que no squarefree incluso si no hay sistemática de la razón, la prevención de este. Desde un punto de vista práctico, si hay uno que se encuentra, es raro encontrarse mediante la comprobación de más números de Euclides, que pronto sería excesivamente difícil, ya que incluso va a a $n=100$ ( $p_n=541$ ) sólo serviría para aumentar el producto a $\exp(-1/\log100)\approx0.80$; puede ser más eficaz para comprobar con más números en mayor $n$ de divisibilidad por plazas más pequeñas, que tienen una mejor tasa de éxito.
Por supuesto, el mismo análisis es válido para la números de $P_n-1$.
[Actualización:]
Dada la cita de Hormigón Matemáticas en Gerry comentario, sabemos que el cuadrado de ningún primer hasta el $p_{3000000}\approx5\cdot10^7$ se divide en un número de Euclides; por lo que el resto de la probabilidad de encontrar uno que hace es sólo aproximadamente el $1-\exp(-1/\log3000000)\approx6.5\%$.
