Válido función del suelo truco?

Question

Dado $x\in\mathbb R_+$$m,n\in\mathbb Z_+$, es cierto que $$\bigg\lfloor\frac{\lfloor \frac{x}{m}\rfloor}{n}\bigg\rfloor=\bigg\lfloor \frac{x}{mn}\bigg\rfloor?$$

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Gracias por al menos tres diferentes y pruebas convincentes! Voy a usar este resultado tratando de código el primer conteo de la fórmula de la Wikipedia $(2)$:

Dado $m$, seleccione $y$, de modo que $\sqrt[3]{m}\le y\le\sqrt{m}$ y deje $n=\pi(y)$. Entonces

$(1)\;$ $\pi(m)=\phi(m,n)+n-1-P_2(m,n)$, donde

$(2)\;$ $\displaystyle \phi(m,n)=\phi(m,n-1)-\phi\Big(\frac{m}{p_n},n-1\Big)$, $\;\phi(m,0)=\lfloor{m}\rfloor$ y

$(3)\;$ $\displaystyle P_2(m,n)=\sum_{y<p\le\sqrt{m}} \Big(\pi\Big(\frac{m}{p}\Big)-\pi(p)+1\Big)$, $\;p$ es un primo.

Answer 1

Sí, sí que lo es. Se supone que es no, entonces no es un número entero $N\in\mathbb{N}$ que se encuentra entre el$\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{x}{m}\right\rfloor}{n}\right\rfloor$$\left\lfloor\frac{x}{mn}\right\rfloor$. Casos posibles:

• $$\frac{x}{mn}<N\leq\frac{\left\lfloor\frac{x}{m}\right\rfloor}{n} \implies \frac{x}{m}<nN\leq\left\lfloor\frac{x}{m}\right\rfloor,$$ que es una contradicción, ya que $\left\lfloor\frac{x}{m}\right\rfloor\leq\frac{x}{m}$.

• $$\frac{\left\lfloor\frac{x}{m}\right\rfloor}{n}<N\leq\frac{x}{mn} \implies \left\lfloor\frac{x}{m}\right\rfloor<nN\leq\frac{x}{m},$$ que también es una contradicción, puesto que no puede mentir un entero entre $\left\lfloor\frac{x}{m}\right\rfloor$$\frac{x}{m}$.

Answer 2

Deje $\left\lfloor\dfrac{x}{mn}\right\rfloor = k \in \mathbb{Z}$. A continuación,$k \le \dfrac{x}{mn} < k+1$. Por eso, $kn \le \dfrac{x}{m} < (k+1)n$.

Desde $\dfrac{x}{m} \ge kn$ $kn$ es un número entero, tenemos $\left\lfloor\dfrac{x}{m}\right\rfloor \ge kn$. También, $\left\lfloor\dfrac{x}{m}\right\rfloor \le \dfrac{x}{m} < (k+1)n$.

Por lo tanto, $kn \le \left\lfloor\dfrac{x}{m}\right\rfloor < (k+1)n$, y por lo tanto, $k \le \dfrac{\left\lfloor\tfrac{x}{m}\right\rfloor}{n} < k+1$.

Por lo tanto, $\left\lfloor \dfrac{\left\lfloor\tfrac{x}{m}\right\rfloor}{n} \right\rfloor = k = \left\lfloor\dfrac{x}{mn}\right\rfloor$, como se desee.

Answer 3

Sí, con el hecho de que $b \cdot \lfloor \frac{a}{b} \rfloor = a - (a \space\text{mod}\space b$), tenemos

$n \cdot \lfloor \frac{x}{m \cdot n} \rfloor =$

$\frac{x}{m} - (\frac{x}{m} \space\text{mod}\space n) =$

$\lfloor \frac{x}{m} \rfloor + \{ \frac{x}{m} \} - ((\lfloor \frac{x}{m} \rfloor + \{ \frac{x}{m} \}) \space\text{mod}\space n) = $

$\lfloor \frac{x}{m} \rfloor - (\lfloor \frac{x}{m} \rfloor \space\text{mod}\space n) =$

$n \cdot \lfloor \frac{\lfloor \frac{x}{m} \rfloor}{n} \rfloor$

Answer 4

He puesto una respuesta construida sobre robjohns comentario.

$$\bigg\lfloor\frac{\lfloor \frac{x}{m}\rfloor}{n}\bigg\rfloor=\bigg\lfloor \frac{x}{mn}\bigg\rfloor$$

Empezar con $x=0$. A continuación, lado izquierdo y lado derecho son iguales. Al $x$ de aumento, el lado izquierdo se incrementará con $1$ exactamente cuando $\lfloor\frac{x}{m}\rfloor$ de aumento con $1$ y convertirse en un divisor de a $n$, que es, exactamente cuando el lado derecho de aumentar con $1$.

Answer 5

Sabemos que si |x-y|<1 (x>y), entonces [x] = [y]

[x/m] - x/m <1 : [x/m]/n - x/mn = ([x/m] - x/m ) /n <1

Así | [x/m] / n - x/ mn | <1 por lo que su truco es correcta