Demostrar que en $\mathbb{R}$ si $|a-b|>\alpha$ todos los $a\in A$$b\in B$, entonces el exterior de medida $m^*(A\cup B)=m^*(A)\cup m^*(B)$

Question

Probar que para los conjuntos de $A,B$ delimitada en $\mathbb{R}$:

Si no existe $\alpha > 0$ tal que $|a-b|>\alpha$ todos los $a\in A$$b\in B$, entonces el exterior de medida $m^*(A\cup B)=m^*(A)\cup m^*(B)$.

Así que estos conjuntos no son necesariamente medibles. Este sale de la sección 2.2 de Royden del Análisis Real. Realmente estoy teniendo problemas con esto, por alguna razón. La única teorema que puedo ver que podría ser de alguna ayuda es que la medida exterior se conserva en la traducción. Pero tendría que traducir cada uno de estos conjuntos de una cantidad diferente, por lo que parece no tener esperanza.

Porque tengo tan pocos teoremas a trabajar con mi corazonada es que tengo que ir de nuevo a la definición misma de exterior medir y hacer algo inteligente con él, pero hasta ahora no he tenido suerte. Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA: Dejar $$U=\bigcup_{a\in A}\left(a-\frac{\alpha}2,a+\frac{\alpha}2\right)$$ and $$V=\bigcup_{b\in B}\left(b-\frac{\alpha}2,b+\frac{\alpha}2\right)\;.$$ Suppose that $x\U,\cap V$; then there are $\en$ and $b\in B$ such that $$|x-a|,|x-b|<\frac{\alpha}2\;.$$ Es esto realmente posible?