¿Cuál es el límite de$\left(2\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\right)^n$ como$n \to \infty$?

Question

Me gustaría gustaría saber cómo obtener la respuesta al siguiente problema:

$$\lim_{n \to \infty} \left(2\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\right)^n$$

Sé que la respuesta es $\frac{1}{e^{1/4}}$, pero no puedo averiguar cómo llegar allí. Esta es una tarea para mi clase de análisis, pero no puedo resolver con cualquiera de los trucos que hemos aprendido allí.

Esto es lo que conseguí después de unos pocos pasos, sin embargo se siente como esto es un callejón sin salida:

$$\lim_{n \to \infty} \left(2\sqrt{n}\times \frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\times \left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\right)^n=$$ $$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)^n$$

Gracias por su ayuda de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA: Utilice $$ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \left(\sqrt{n+1}=\sqrt{n}\right) }{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right) } = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$ Ahora el límite es más fácil de manejar: $$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n} }\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n} }\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\right)^2 }\right)^n $$

Answer 2

La expansión de la serie de Taylor de $\sqrt{1+x}$ cerca de $x=0$ da $ \sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \mathcal{O}(x^3).$ $$ \left( 2\sqrt{n} ( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} )\right)^n =2^n n^{\frac{n+1}{2}} \left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1 \right)^n$$

$$=2^n n^{\frac{n+1}{2}} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2}+ \mathcal{O}(1/n^3)\right)^n = n^{\frac{1-n}{2}} \left(1 - \frac{1}{4n} + \mathcal{O}(n^{-2})\right)^n\to e^{-1/4}.$$