¿Es el conjunto de punto fijo de una involución en un múltiple topológico una subvariedad?

Question

Que $f:X\to X$ sea un Homeomorfismo de un múltiple topológico con $f^2=\mathrm{id}$.

¿Es cada componente conectado de $\{x\in X \mid f(x)=x\}$ una subvariedad topológica?

Answer 1

No, los componentes conectados de los puntos fijos de $f$ no se necesita ser un colector. Me pueden dar un ejemplo de una homeomorphism $f\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$$f^2=\rm id$, cuyo conjunto de puntos fijos está conectado (de hecho, contráctiles), pero no es un colector.

Deje $X=B\times\mathbb{R}$ donde $B$ es de Bing del hueso de perro de espacio, y definir $f\colon X\to X$$f(b,r)=(b,-r)$. Esto es claramente un homeomorphism con $f^2=\rm id$$\lbrace x\in X\colon f(x)=x\rbrace=B\times\lbrace0\rbrace\cong B$. Se sabe que $X$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^4$, pero el hueso de perro de espacio $B$ no es un topológica del colector. También, $B$ es contráctiles, como su producto con $\mathbb{R}$ es contráctiles.

Nota: Bing construcción de la dogbone espacio fue publicado en Mayo de 1957¹, y el hecho de que su producto con $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^4$ se demostró en 1959². Eilenberg de la lista de problemas abiertos vinculados por Willie Wong en el comentario a la pregunta se remonta a abril de 1949³. Así, es perfectamente plausible que el problema era de hecho abierto cuando Eilenberg publicado su lista.

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¹ Una Descomposición de la $E^3$ en Puntos y Domar Arcos Que la Descomposición del Espacio es Topológicamente Distintos de $E^3$, R. H. Bing, Anales de Matemáticas de Segundo de la Serie, Vol. 65, Nº 3 (Mayo de 1957), pp 484-500. (Enlace)

² El Producto Cartesiano de un Cierto no múltiples y una Línea de es $E^4$, R. H. Bing, Anales de Matemáticas de Segundo de la Serie, Vol. 70, Nº 3 (Nov., 1959), pp 399-412. (Enlace)

³ En los Problemas de Topología, Samuel Eilenberg, Anales de Matemáticas de Segundo de la Serie, Vol. 50, Nº 2 (Abr., 1949), pp 247-260. (Enlace)