Pregunta rápida sobre una imagen - el área bajo una distribución normal es siempre 1

Question

Mira la foto de abajo.

Es de este sitio: http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html

Las 3 curvas (roja, azul, verde) son distribuciones normales [Edición y solución a mi pregunta (gracias Hyperplane): Resulta que no son las curvas de una distribución normal. Aprendí que "gaussiano" no significa necesariamente una función de densidad de probabilidad] . El verde es la convolución del azul y el rojo.

Mi pregunta

Sé que el área bajo todas las curvas normales es uno (axioma de la probabilidad). Pero parece que la curva roja tiene el área más grande.

Sé que la convolución de dos normales tiene una varianza igual a la suma de la varianza de $f$ y $g$ ... Me parece que es una mala foto, pero sé que me equivoco al acusar a wolfram de eso. ¿Puede arreglar mi intuición? ¿Realmente está todo en las colas?

Lo siento si esta es la pregunta más tonta de la historia.

Answer 1

Tienes razón. La imagen (y el texto) son engañosos. Para comprobarlo, fíjate en la función del vagón. El área de $f$ y $g$ es definitivamente diferente

Answer 2

¿Por qué supones que todas son densidades de probabilidad?

A mí me parece que simplemente eligieron $g(x) = \tfrac{1}{2}f(2x)$ . Por lo tanto, el verde y el azul deben tener la misma área, pero no el azul y el rojo.

Me las arreglé para recrearlo en desmos . Parece que utilizaron $f(x) = e^{-(2x)^2}$ y $g(x) =\frac{1}{2}e^{-(4x)^2}$ , lo que da $[f*g](x) = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi}{5}}e^{-\tfrac{16}{5}x^2}$ . (O valores que, al menos, se aproximen a esto)

Answer 3

La imagen no es correcta como nos ha mostrado Hyperplane. Así que las áreas no son iguales.

Obsérvese que esta ilusión de "área enorme bajo una función pequeña" existe para otras funciones. Podemos comparar la integral convergente $$\lim_{t\to\infty}\int_1^t\frac{1}{x^2}dx=\lim_{t\to\infty}(1-\frac{1}{t})=1$$ y la integral divergente $$\lim_{t\to\infty}\int_1^t\frac{1}{x}dx=\lim_{t\to\infty}\ln(t)=\infty$$

Ambas funciones $\frac{1}{x^2}$ y $\frac{1}{x}$ están muy cerca de $0$ para $x>4$ pero la segunda integral sigue añadiendo una cantidad ilimitada de área como $t$ se hace más grande.