¿Cómo encontrar el valor absoluto de la diferencia de dos variables?

Question

El problema es el siguiente:

Deje $x$ $y$ enteros que satisfacen las siguientes ecuaciones: $$x+y-\sqrt{xy}=7$$ $$x^2+y^2+xy=133$$ Encontrar el valor de $\;|x-y|.$

Estoy atascado en este problema debido al hecho de que no aparece una raíz cuadrada de $xy$ y las plazas tanto de $x$$y$, por lo tanto el sistema no puede ser resuelto utilizando métodos regulares. Por otra parte no sé cómo abordar el valor absoluto.

La respuesta que me ayudarían a la mayoría es la que aborda algunos de los fundamentos teóricos sobre el valor absoluto y los pasos que tendrían que me llevó a encontrar a $x$$y$.

Answer 1

Darse cuenta de

ps

Luego, por la mitad de la suma y la media diferencia,

ps

Finalmente,

ps

Esta es la única solución.

Answer 2

Sugerencia: let$s=x+y, p=xy$ luego el sistema escribe como:

$$ s- \ sqrt {p} = 7 \\ s ^ 2-p = 133 $$

La solución da$s=13, p=36$ así que$x, y$ son las raíces de$z^2-13z+36=0$, y el valor absoluto de la diferencia entre las raíces de un cuadrático es$\sqrt{\Delta}/|a|$.

Answer 3

Dejar $a=x+y,b=\sqrt{xy}$. Las dos ecuaciones dadas se pueden reescribir como$a-b=7$ y$a^2-b^2=133$. Como$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$,$a+b=133/7=19$, entonces$a=(19+7)/2=13$ y$b=(19-7)/2=6$. Por lo tanto,$x+y=13$ y$xy=36$. $$|x-y|^2=(x+y)^2-4xy=13^2-4(36)=13^2-12^2=13+12=25=5^2,$ $ so$|x-y|=5$.