hoy me he encontrado con un problema como el siguiente:
Uno de los términos en la forma abierta de $(3x^2+2x+y+4z)^{10}$ es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el término correspondiente contiene $x^7$?
Mis Intentos
Yo he reducido la pregunta a dos piezas, -calcular el número de términos con $x^7$ y el número de todos los términos.
He abierto el paréntesis, utilizando multinomials: $$\sum_{k_1,k_2,k_3,k_4=1\\k_1+k_2+k_3+k_4=10}^{10} \dbinom{10}{k_1,k_2,k_3,k_4} (3x^2)^{k_1}\cdot(2x)^{k_2}\cdot y^{k_3}\cdot(4z)^{k_4}$$ Para calcular el número de términos con $x^7$ he utilizado ese $2k_1+k_2=7$ fácilmente llegué a $(0,7),(1,5),(2,3),(3,1)$ a medida que el número de soluciones para esto, $4$ términos con $x^7$. Sin embargo, cuando se llegó a calcular el número de todos los términos Que puse un poco más complicado, Como un pensamiento inicial $x^2$ nos permite llegar a los $x^{20}$ para el grado máximo y $x^{10}$ para el mínimo, yo supuse que se puede tomar todos los valores entre el primero y lo que obtuve fue $\{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}$, con lo que me dijo que podría ser la respuesta $\dfrac{4}{11}$. Aunque creo que mi solución ha de errores técnicos, y la respuesta que me dieron no está en las opciones.
¿Cuáles son sus sugerencias?
