¿Son parábolas con dos x-intercepta más numerosas que las parábolas con ninguna x-intercepciones?

Question

Supongamos que tenemos al azar asignar valores a un, b y c en la ecuación de $y=ax^2 + bx + c$.

Cuando el discriminante $(b^2-4ac)$ es positivo, la parábola tiene dos intersecciones en x. Esto sucederá siempre que $4ac<b^2$, o más explícitamente, siempre que:

1. $4ac<0$,
2. $4ac=0$ & $0<b^2$, o
3. $0<4ac<b^2$

Vamos a distinguir la cuestión de si $4ac=0$. Si nuestro análisis se limita a las ecuaciones cuadráticas (en la que una no puede igualar $0$), $4ac=0$ sólo al $c=0$. No sé qué probabilidad asignar para ese caso, pero no creo que la cuestión de la probabilidad será importante.

Si $4ac=0$, una parábola usualmente tiene dos intersecciones en x:

• Cuando $b=0$, $b^2=0$, discriminante=$0$, y la parábola tiene 1 intercepto en x

• Cuando b no es $0$, $b^2>0$ y la parábola tiene 2 intersecciones en x

Si 4ac no es igual a $0$, una parábola usualmente tiene dos intersecciones en x:

            4ac < 0             4ac > 0
|4ac|< b2   Two x-intercepts    Two x-intercepts
|4ac|= b2   Two x-intercepts    One x-intercept
|4ac|> b2   Two x-intercepts    No x-intercept

(Estoy asumiendo que estas columnas son igualmente probables, no que las filas son. Hay dos intersecciones en x siempre $4ac<0$ (50% del tiempo) y, a veces, incluso si $4ac>0$ (algunos positivos por ciento del tiempo). Así que parece ser mayor que la de un 50% de probabilidad.)

Así que, independientemente de si $4ac=0$, parábolas tienen generalmente dos intersecciones en x.

Pero eso debe ser malo. Al azar de parábola debe tener la misma probabilidad de dos intersecciones en x como de no interceptos en x. Las parábolas puede abrir hacia arriba o hacia abajo (con igual probabilidad), con vértice por encima o por debajo del eje x (con igual probabilidad).

                    Vertex is above x-axis  Vertex is below x-axis
Parabola opens up   No x-intercepts         Two x-intercepts
Parabola opens down Two x-intercepts        No x-intercept

No?

ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE LA RESPUESTA HASTA LA FECHA

Como sucede con dolorosa regularidad, la respuesta es un poco demasiado sofisticado para mí entender totalmente. Pero creo que hay dos grandes líneas de análisis: (1) la duda que selecciona aleatoriamente los valores de un, b y c de crear una igualdad de probabilidad de que la parábola de vértice se encuentra por encima o por debajo de la x-axis; y (2) la duda sobre el concepto de "selección al azar."

Vamos a considerar que la primera pregunta primero.

En una ecuación en la forma $y=ax^2 + bx + c$, el eje de simetría es la línea de $x=-b/2a$, y la coordenada del vértice es el valor de y asociado con ese valor de x:

$y = a(x)^2 + b(x) + c$

$y = a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + c$

$y = ab^2/4a^2 – b^2/2a + c$

$y = b^2/4a – b^2/2a + c$

$y = b^2/4a – 2b^2/4a + 4ac/4a$

$y = (b^2 – 2b^2 + 4ac)/4a$

$y = (– 1b^2 + 4ac)/4a$

Cuando la voluntad y ser positivo?

Lo que parece bastante claro para mí es que esos cuatro alternativas deben ser igualmente numerosos. Tengo que admitir que un poco de confusión sobre el signo de y en aquellos casos en que una y c son ambos positivos o ambos negativos, pero me parece que la parte superior-izquierda de caso debe proporcionar algún número de positivosy resultados, de la parte inferior derecha de caso debe proporcionar un número igual de negativoy resultados, y como toda la tabla sugiere una probabilidad igual que y es positivo o negativo.

Pero, en cualquier caso, incluso si este análisis es incorrecto, y una selección al azar de un, b y c NO permite la igualdad de probabilidad de que el vértice por encima o por debajo de la x-eje, no siendo el caso de que la parábola es igual de probable que se abra hacia arriba o hacia abajo, de manera que la mitad de todas las parábolas (si el vértice de arriba o de vértice por debajo) se abrirá hacia el x-eje y crear dos x-intercepta?

En cuanto a la segunda preocupación, acerca de la selección al azar, simplemente no entiendo el problema. He leído la referencia de la página acerca de las distribuciones de probabilidad, y la única cosa que me llama la atención es la escasez de ejemplos con ni más ni menos valor posible, casos como el mío en el que un, b y c puede ser cualquier número. Habría que mejorar la cuestión a considerar la selección aleatoria de un número entero, en lugar de todos los números reales? Qué necesito para limitar la cuestión a valores dentro de un cierto intervalo?

¿Qué se debe hacer?

Answer 1

En un espacio de 3 dimensiones con coordenadas $a$, $b$, $c$, la ecuación de $b^2-4ac=0$ es la de un cono doble. Después de una rotación en el $ac$ plano ($u=(a+c)/\sqrt2$, $v=(a-c)/\sqrt2$), esto puede escribirse como $$ b^2=2u^2-2v^2 $$ que es la ecuación de una elíptica de cono centrado sobre el $u$-eje. Puntos de con $b^2-4ac>0$ corresponden a puntos fuera del cono. La probabilidad de que $b^2-4ac<0$ es entonces la relación entre el ángulo sólido subtendido por el doble cono y $4\pi$.

Que el ángulo sólido puede ser fácilmente calculada con una integral. Si $b=r\cos\theta$, $u=r\sin\theta\cos\phi$ $v=r\sin\theta\sin\phi$ , entonces la ecuación del cono se convierte en $\cos^2\theta=2\sin^2\theta\cos2\phi$. Permite realizar la integración en una sola hoja del cono, correspondiente a $-\pi/4\le\phi\le\pi/4$. Para un valor dado de a $\phi$, tenemos $\arctan{1\over2\cos2\phi}\le\theta\le\pi-\arctan{1\over2\cos2\phi}$ y el ángulo sólido delimitado por este único cono es $$ \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\int_{\arctan{1\over2\cos2\phi}}^{\pi-\arctan{1\over2\cos2\phi}}\sin\theta\,d\theta\,d\phi=2\arctan2. $$

El ángulo sólido total es el doble de eso y de que la probabilidad de que $b^2-4ac<0$ es entonces $$ {4\arctan2\over4\pi}\approx 0.352416. $$ NOTA 1.

Este resultado se deriva de asumir que $abc$ son elegidos al azar en una región esférica centrada en $(0,0,0)$. La elección de los diferentes geometrías probablemente conducir a resultados diferentes.

NOTA 2.

He hecho dos simulaciones con Mathematica:

1) la elección de $abc$ en un cubo centrado en $(0,0,0)$, he obtenido una probabilidad de alrededor de $0.373$$b^2-4ac<0$, con diez millones de parábolas;

2) la elección de $abc$ en una esfera centrada en $(0,0,0)$, he obtenido una probabilidad de alrededor de $0.351$$b^2-4ac<0$, con cinco millones de parábolas.

Answer 2

Con el fin de "al azar asignar valores a $a$, $b$, y $c$," necesitamos una distribución de probabilidad. Ya que no hay una distribución uniforme por todos los números reales (o sobre cualquier ilimitado subconjunto de los números reales, o más de todos los números enteros, o a través de cualquier ilimitado subconjunto de los números enteros), la distribución de probabilidad debe

• ser restringido a un número finito de intervalos;
• ser no uniforme de la probabilidad; o
• ser no uniforme y restringido a un número finito de intervalos.

Vamos a hacer los siguientes supuestos, que parecen ser los indicados por los conceptos detrás de la pregunta:

• Las variables aleatorias $a$, $b$, y $c$ son independientes.
• Cada una de las variables $a$, $b$, y $c$ tiene una distribución de probabilidad que es simétrica alrededor de cero.

Si suponemos además que cada una de las variables $a$, $b$, y $c$ tiene una distribución normal estándar, su distribución de probabilidad conjunta es esféricamente simétrica. Como se muestra en otra respuesta, si la distribución de los $(a,b,c)$ es esféricamente simétrica, la probabilidad de que la parábola dada por $y=ax^2+bx+c$ cruza la $x$-eje es exactamente definido y es de aproximadamente $0.648.$ Si cada una de las variables $a$, $b$, y $c$ es distribuido uniformemente sobre $[-1,1],$ sin embargo, su distribución conjunta no es esféricamente simétrica, y la probabilidad de que $y=ax^2+bx+c$ cruza la $x$-eje (simulación) más cerca de la $0.627.$

Otras opciones de distribuciones de probabilidad pueden dar otros valores para la probabilidad de que la parábola intersecta con el $x$-eje. Por ejemplo, supongamos que $a$, $b$, y $c$ cada uno son las mismas probabilidades de ser $-1$ o $1$, y supongamos que las tres variables son independientes. Esta técnica satisface los supuestos establecidos, y la probabilidad de que la parábola intersecta con el $x$-eje es exactamente $\frac12$; tendremos a $b^2 < 4ac$ o $b^2 > 4ac$ dependiendo de si los signos de $a$ $c$ son de la misma u opuesta.

Dentro de cualquier rectángulo de puntos de $(a,b,c)$ delimitada por $-a_0 \leq a \leq a_0,$ $-b_0 \leq b \leq b_0,$ $-c_0 \leq c \leq c_0,$ sin embargo, más de la mitad del volumen está ocupado por los puntos tales que $b^2 > 4ac.$ Ninguna parte de la distribución de probabilidad en la región donde $b^2 < 4ac$ es comparable con la de la distribución en la región donde $-b^2 > 4ac.$ Es decir, el punto de $(a,b,c)$ tiene la misma probabilidad de caer en cualquiera de estas dos regiones. La única manera de tener un $\frac12$ de probabilidad de que la parábola intersecta con el $x$-eje, es que haya un cero probabilidad de que $-b^2 < 4ac < b^2.$ Ya que la caja incluye todos los puntos donde $|a|<2|b|$ $|c|<2|b|,$ tenemos que descartar totalmente los valores de $a$ $c$ en un barrio de $0.$ Si, por otro lado, cada una de las variables $a,$ $b,$ y $c$ tiene la misma distribución de probabilidad con un valor distinto de cero de la densidad de alrededor de $0$ (que parece un motivo razonable para hacer), la parábola se se cruzan las $x$-eje con una probabilidad mayor que el $\frac12.$

Bajo los supuestos básicos de esta respuesta (las variables independientes de cada simétrica alrededor de cero), y suponiendo que no existe la probabilidad de que ninguna de las variables se ser exactamente cero (por ejemplo, si sus distribuciones son continuas), es cierto que el vértice de la parábola está por encima o por debajo de la $x$-eje con una probabilidad de $\frac12,$, y también es cierto que la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo con una probabilidad de $\frac12.$ Es que no es necesariamente cierto que los eventos son independientes, sin embargo. Bajo ciertas suposiciones razonables, cuando el vértice está por debajo de la $x$-eje de la parábola es más probable que se abren de abajo.

Answer 3

Wlog considerar

$$ x^2 + 2 b x + c =0 $$

Parábolas interceptadas ocurren cuando $ b^2 > c,x-$ eje tocar parábolas cuando $ b^2 = c,$ y no - intersección parábolas cuando $ b^2 < c.$

Answer 4

Como usted ha señalado, puede utilizar la ubicación del vértice para deducir el número de raíces reales. Su pregunta es, por tanto, de forma análoga a preguntar ¿cuál es la probabilidad de que un azar un número real positivo. No hay una respuesta a esa pregunta si por "azar" usted está pensando en una distribución uniforme, porque no hay tal distribución a través de todos los números reales. La pregunta está mal planteada.

Considere la posibilidad de una distribución uniforme con los extremos de $[-d,3d]$. La probabilidad de elegir un número positivo de que la distribución es $3/4$, independiente de $d$. Tomando el límite de $d\rightarrow\infty$ usted puede pensar que esto describe una distribución uniforme sobre todos los números reales, pero la elección de $3$ es arbitrario y por lo que la probabilidad de cálculo es arbitraria. Dicho de otra manera, tratar de visualizar una distribución uniforme a través de una gama infinita, ¿crees que se puede dividir la distribución en la mitad, de modo que la mitad de la probabilidad en cada lado? ¿Qué acerca de la gama de $[0,\infty]$?

Si, por otro lado su distribución es simétrica alrededor de cero, entonces la probabilidad de elegir una al azar positivo número es $1/2$, incluso para una distribución que se extiende sobre todos los números reales, como la distribución normal estándar, por ejemplo.