¿Qué significa Timothy Gowers por ' semántica de ' y ' sintaxis ' en matemáticas?

Question

Fuente: ¿Cómo debe logaritmos ser enseñado? Todas las negritas son mías.

Los que han criticado este punto de vista tiende a pensar que me estaba abogando por pura memorización en lugar de entender. En realidad, yo estaba sugiriendo que una verdadera comprensión de un concepto sofisticado, tales como la función exponencial implica dejar ir el significado intuitivo (una vez que ha cumplido su propósito de decirle a usted las reglas desea que la función de satisfacer) y utilizando las propiedades de definición de lugar.

Detrás de esa propuesta está más general de la demanda, la cual es que los matemáticos subestimar enormemente la medida en que ellos piensan que sintácticamente más que semánticamente. [...]

Hacer de la Lingüística definiciones a continuación se relacionan estos términos " significados en matemáticas?

Fuente: Una Introducción a la Lengua (10 ed., 2013. Pero $\exists$ 11 ed.)

[p 578:] la semántica
El estudio de los significados lingüísticos de los morfemas, palabras, frases, y las frases.

[p 582:] sintaxis
Las reglas de la sentencia de la formación; el componente de la gramática mental que representa altavoces' el conocimiento de la estructura de las frases y oraciones.

Answer 1

El significado lingüístico de la sintaxis y la semántica se corresponde aproximadamente con el entendimiento de las matemáticas.

La sintaxis es el símbolo de la transposición de las operaciones en las matemáticas. Esto incluye la sustitución. En el contexto de los logaritmos, la regla de que $a^y = x \implies y = \log_a(x)$. Si hacemos uso de esta regla mediante la sustitución de números diferentes funciones de la $a, x, y$, estamos pensando en logaritmos sintácticamente.

La semántica es el significado subyacente de las ecuaciones. Esto incluye las representaciones de objeto. Así, cuando estamos pensando en logaritmos, pensamos acerca de la exponenciación número. Como, ¿cómo $\log_{10}(100) = 2$, lo que significa que exponentiated $10$ dos veces para llegar a $100$. El punto es, más que definir un logaritmo como una inversa, o el uso de reglas, consideramos que es el significado de la primera.

Estas palabras tienen mucho definiciones más específicas en la lógica matemática, donde los objetos estudiados son los valores de verdad en lugar de números. La sintaxis es como la prueba de las reglas, y la semántica es el verdadero valor de verdad, interpretada bajo un modelo.