¡¿Simetría de espejo mod p?! ... ¡¿Física mod p?!

Question

En su respuesta a esta pregunta Scott Carnahan menciona la "simetría de espejo mod p". ¿Qué es eso?

Se pueden definir (algún tipo de) invariantes de Gromov-Witten para variedades sobre campos distintos de $\mathbb{C}$ . Además, otras cosas que surgen en la simetría especular, como la variación de la estructura de Hodge y las categorías derivadas de las láminas coherentes, también tienen sentido. (Aunque no puedo imaginar que sea posible hablar de categorías de Fukaya...) ¿Podemos formular algún tipo de declaración de simetría especular sensata, similar a la de Candelas-de la Ossa-Green-Parkes que relaciona los invariantes de Gromov-Witten de un triplete quíntico con la variación de la estructura de Hodge de la variedad especular, cuando las variedades están sobre algún campo distinto de $\mathbb{C}$ ? En particular, ¿podemos hacer algo parecido para campos de característica positiva?

Busqué en Google "simetría aritmética del espejo" y "simetría del espejo mod p", y encontré algunas cosas sobre la relación entre la aritmética de las variedades del espejo, pero nada sobre los invariantes de Gromov-Witten. Sí encontré notas de las conferencias de Candelas a las que se refería Scott, pero no fui capaz de entender qué pasaba en ellas.

En términos más generales, hay muchos ejemplos de enunciados matemáticos sobre variedades algebraicas complejas que provienen de la física/teoría de campos cuánticos/teoría de cuerdas. Algunas de estas afirmaciones (quizá con alguna modificación) pueden seguir teniendo sentido si sustituimos "variedad sobre $\mathbb{C}$ con "variedad sobre $k$ ", donde $k$ es algún campo arbitrario, o un campo de característica positiva, o lo que sea. ¿Hay alguna afirmación de este tipo que se haya demostrado?

Edición: Estoy recibiendo algunas respuestas, y todas suenan muy interesantes, pero sigo teniendo especial curiosidad por saber si alguien ha hecho algo con respecto a los invariantes de Gromov-Witten sobre campos distintos de $\mathbb{C}$ .

Answer 1

La respuesta más interesante que conozco a esta pregunta es el reciente trabajo de Albert Schwarz con Vadim Vologodsky, Ilya Shaprio y Maxim Kontsevich, en el que, por ejemplo, utilizan propiedades de la acción de Frobenius sobre la cohomología p-ádica para establecer propiedades del mapa espejo, véase por ejemplo aquí , aquí o aquí . En otra dirección interesante están los trabajos de Philip Candelas, Xenia de la Ossa y Fernando Rodríguez Villegas sobre las variedades de Calabi-Yau sobre campos finitos y "Teoría de Dwork para físicos" aquí , aquí y aquí .

Answer 2

Para números enteros fijos $g,n$ cualquier esquema proyectivo $X$ sobre un campo $k$ y un mapa lineal $\beta:\operatorname{Pic}(X)\to\mathbb Z$ el espacio $\overline{M}_{g,n}(X,\beta)$ de mapas estables está bien definida como una pila de Artin con estabilizador finito, sin importar la característica de $k$ . Incluso puede sustituir $k$ por $\mathbb Z$ si te gusta.

Ahora bien, si $X$ es un esquema proyectivo suave sobre $R=\mathbb Z[1/N]$ para algún número entero $N$ entonces $\overline{M}_{g,n}(X,\beta) \times_R \mathbb Z/p\mathbb Z$ es una pila de Deligne-Mumford para casi todos los primos $p$ . Para tales $p$ , $\overline{M}_{g,n}(X,\beta) \times_R \mathbb Z/p\mathbb Z$ tiene un ciclo fundamental virtual, por lo que tiene invariantes de Gromov-Witten bien definidos. Esto es válido para todos los casos, excepto para un número finito de $p$ . Nada sobre $\mathbb C$ aquí, ese es mi punto, la construcción es puramente algebraica y muy general.

Es cuando dices "estructuras de Hodge" entonces mejor trabajar sobre $\mathbb C$ A no ser que te refieras a $p$ -Estructuras de Hodge.

En cuanto a la simetría de espejo en la característica $p$ La mayor parte de ella está libre de características. Por ejemplo, la simetría de espejo combinatoria de Batyrev para las hipersuperficies de Calabi-Yau en variedades tóricas es simplemente la dualidad entre politopos reflexivos. Se puede hacer eso en cualquier característica, de hecho sobre $\mathbb Z$ si te gusta.

Answer 3

A mí me parece que la operación espejo al cambio del campo base es el cambio de coeficientes en la homología de Floer. Permítanme dar algunos ejemplos.

Para el caso de que $k$ es cualquier campo, tenemos el siguiente ejemplo: Tomemos $\mathbf{P}^2_k$ como nuestra variedad y su espejo $W: \left(\mathbf{C}^{\times}\right)^2 \rightarrow \mathbf{C}$ , $W(x,y) = 1 + x + y - 1/xy$ . Para la categoría Fukaya-Seidel de los ciclos de fuga de $W$ tomar los coeficientes en $k$ y olvidar la ponderación por exponenciales de las áreas de los polígonos holomorfos. Entonces, la categoría derivada acotada de gavillas coherentes sobre $\mathbf{P}^2_k$ es equivalente a la categoría derivada idempotente-completa de Fukaya-Seidel de $W$ con coeficientes en $k$ . De hecho, la primera declaración de este resultado por escrito, en la obra de Seidel Más información sobre los ciclos de fuga y la mutación , conjuntos $k = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ .

Para un superficie cuártica sabemos que un lado de la simetría de espejo se mantiene cuando $k$ es el campo racional de Novikov sobre $\mathbf{C}$ , $\Lambda_{\mathbf{Q}}$ . Precisamente, tenemos una equivalencia entre la categoría de Fukaya derivada idempotente-completada de una superficie cuártica lisa sobre $\mathbf{C}$ con coeficientes en $\Lambda_{\mathbf{Q}}$ y la categoría derivada acotada del espejo de una superficie cuártica lisa sobre $\Lambda_{\mathbf{Q}}$ . Aquí parece perfectamente plausible sustituir $\mathbf{C}$ por $k$ de nuevo. Sin embargo, hay una diferencia significativa con el ejemplo anterior. Para $\mathbf{P}^2$ Nunca tuvimos que preocuparnos por la convergencia de las series de potencias que definen los productos en la categoría de Fukaya gracias a la exactitud de todo lo que se ve. Pero, aquí se acaban muchas cuestiones importantes $\mathbf{C}$ y dependen de la convergencia. Así que lo más sensato sería tomar algo así como un $p$ -campo de la adicción para $k$ .

El cambio de coeficientes puede no parecer muy atractivo y probablemente no tenga mucho que decir sobre los invariantes de GW de las variedades sobre campos finitos, pero puede, no obstante, proporcionar resultados interesantes. El primer caso a investigar: probar la simetría de espejo para una curva elíptica sobre un $p$ -campo de la adicción. Como primer paso, ¿se puede reproducir una declaración como la de Polishchuk y Zaslow ?

Caveat emptor: no tengo ni idea, pero creo que sería interesante averiguarlo.

Answer 4

Aunque no es una respuesta a su pregunta, estrictamente hablando, ha habido algo de "física mod p" en el pasado. En la década de 1980 hubo algunos trabajos sobre teoría de cuerdas p-ádica . Si buscas en Google encontrarás varios artículos sobre el tema. Gente como Frampton y Volovich (padre) han trabajado en este tema. Incluso fuera del ámbito de la teoría de cuerdas, se han realizado algunos trabajos sobre física p-ádica, que se han ocupado seriamente de la noción de las terminaciones no arquimédicas de los racionales, con el razonamiento (¡sin ánimo de broma!) de que sólo somos capaces de medir los racionales positivos en el laboratorio.

En términos más generales, el trabajo de Atiyah y Bott sobre Las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann donde rederivan utilizando métodos de teoría gauge un resultado anterior de Narasimhan y Seshadri sobre la topología del espacio de moduli de los haces holonomórficos sobre una superficie de Riemann, sugiere muy fuertemente -- ¡al menos para Atiyah! -- una relación muy fuerte entre la Física y la Aritmética, que aún está por dilucidar.

Answer 5

Hazewinkel cita la obra de Y.I. Manin "Reflexiones sobre la física aritmética" como "conjetura principal" en su "Teoremas de bondad" :

"En el nivel fundamental, nuestro mundo no es real ni p-ádico; es adélico. Para algunas razones que reflejan la naturaleza física de nuestro tipo de materia viva (por ejemplo, el hecho de que estemos construidos de partículas masivas), tendemos a proyectar la imagen adèlica sobre su lado real. Podemos igualmente proyectarla espiritualmente sobre su lado no arquimédico y calcular aritméticamente las cosas más importantes".

y da ejemplos e información bíblica (no copiada aquí): "Hay aplicaciones de esta idea a la medida de Polyakov (función de partición de Polyakov), a la teoría de cuerdas, a la teoría de Yang-Mills y a mucho más". Si añadimos que las versiones p-ádicas son a menudo más fáciles de manejar, encontramos una buena justificación para la disciplina de la física p-ádica."

Kazuya Kato escribe en sus conferencias sobre la teoría de Iwasawa: "Las misteriosas propiedades de los valores zeta parecen decirnos (en una voz no tan alta) que nuestro universo tiene las mismas propiedades: El universo no se explica sólo por los números reales. Tiene propiedades p-ádicas como afirman algunos físicos) y está relacionado con objetos profundos que llamamos, para simplificar, la grúa, el tren de la galaxia, y la patria de los valores zeta. Nuestros objetos pueden tener las mismas propiedades. ¿Existen significados físicos de los elementos zeta?"

Editar: A nuevo artículo en el arxiv sobre las "propiedades aritméticas de las teorías de campo". En particular, estudiamos la estructura de vacío de las teorías gauge supersimétricas como variedades algebraicas sobre campos de números de característica finita."