Límite del promedio de dígitos decimales: $\lim\frac{1}{n} (x_1 + \dots +x_n) = constant$

Question

Tengo un problema a resolver en Ergodic Theory, pero me he atascado y no tienen idea de cómo procedimiento. El problema es el siguiente.

Probar que existe una constante tal que α para Lebesgue una.e. x∈[0,1] $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} (x_1 + \dots + x_n) = \alpha$ donde $x_1 ,...,x_n$ son los dígitos de la expansión decimal de x significado $x_i \in $ {0,...,9}.

Que tengo, que si $x \in Q$, $\alpha$ es, obviamente, 0.

Así que si $x \in $ R\Q podemos obligado el límite por arriba por 9 y por debajo por 1 ej. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} (x_1 + \dots + x_n) \leq \lim_{n\to\infty} \frac{9n}{n} = 9$.

A la derecha? Pero ahora todavía tengo que probar que existe, ¿cómo puedo hacer eso? Muchas gracias ya.

Answer 1

Sugerencia: Si usted ha estado siguiendo un curso sobre Ergodic theory usted tiene sin duda se encontró con el mapa de $x\mapsto 2 x$ (mod 1) y el hecho de que en él se conserva y es ergodic con respecto a la medida de Lebesgue?

Si se considera el indicador de la función en $[1/2,1)$ como un observable, entonces la suma a lo largo de una órbita de un número $x$ se corresponde con el número de dígitos binarios en la expansión de $x$. Para Lesbesgue una.e. punto de la media por lo tanto converge a la integral de la observables, es decir, 1/2.

Realizar este ejercicio, pero para el mapa de $x\mapsto 10 x$ (mod 1) y la figura de la derecha observables para el uso.

Answer 2

Finalmente he entendido :D Así que aprovecho el MPS $[0,1) -> [0,1)$, $x \mapsto 10x $ con la medida de lebesque. Esto es ergódica. Tomar como mi función $f(x) = 0 on [0,0.1), 1 on [0.1,0.2) ... $. Entonces la suma a lo largo de una órbita de un número $x$ corresponden al número de 10 dígitos.

Así tenemos que por Birkhoff $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n-1} f (10^{-1}(x)) -> \int_{[0,1)} f d\mu =4.5$. ¿Correcto? ¡¡Muchas gracias!!