Justificación del principio de acción por lo menos, con conservación de la información

Question

En este Phys.SE pregunta, una respuesta (por Ron Maimón) afirma que uno puede hacer la suposición de al menos un principio de acción plausible el uso del Teorema de Liouville como otro punto de partida de la teoría. La respuesta afirma que la conservación de la información es el equivalente de la conservación del espacio de fase de volumen (lo cual es comprensible y plausible para mí), y se sigue de que el tiempo de evolución de un sistema está dada por una transformación canónica, y por lo tanto, por el canónicas de las ecuaciones de Hamilton formalismo. Entiendo esta parte.

La respuesta, a continuación, intenta proporcionar un argumento analógico en el formalismo de Lagrange, que no entiendo. Se considera que el espacio de todas las soluciones en el espacio de configuración como el espacio de fase, pero dejé de no entender el argumento. ¿Alguien puede decirme cómo se puede hacer plausible la derivación del principio de la menor acción, a través de la conservación del espacio de fase de volumen (o algo equivalente) en el formalismo de Lagrange?

Answer 1

Esto probablemente no es tan riguroso como en la respuesta que usted está buscando, pero permítanme sugerir que usted simplemente podría trazar un pequeño número de puntos en un simple espacio de fase, con la posición en una dimensión espacial en la que el eje x y el impulso en el eje y. Comience con (0,0), (0,1) y (1,0) para hacerlo simple. Si usted comienza con el teorema de Liouville, que el área definida por estos puntos no puede aumentar a medida que evoluciona, se puede ver que cualquier arreglo que aumenta el área definida por sus puntos se tienen que implicar el impulso de cambiar por ninguna razón, o de la posición de cambio, sin el impulso para dar cuenta de ella. Esas serían las señas de identidad de la violación del principio de la menor acción. Entonces se podría generalizar y hacer que sea mucho más riguroso, por supuesto. Puedo estar equivocado, pero en realidad creo que el teorema de Liouville en realidad presupone tanto la conservación del momento o principio de la menor acción, o al menos algunos mínima cantidad conservada, de lo contrario, no veo cómo se podría llegar a la conclusión acerca del área que se alojen en el mismo.