Hemos visto la afirmación inversa: El teorema de Lioville afirma que las transformaciones canónicas preservan el volumen (y también la orientación). ¿Es cierto lo contrario? Si exijo que un mapa del espacio de fase al espacio de fase preserve el volumen, ¿es necesariamente una transformación canónica? No se me ha ocurrido un contraejemplo, por eso pregunto.
En la dimensión $2n>2$ no son equivalentes ya que (para las transformaciones independientes del tiempo) la canónica es equivalente a $$\sum_{k=1}^n dq^k\wedge dp_k = \sum_{k=1}^n dQ^k\wedge dP_k\tag{1}$$ mientras que la conservación del volumen orientado significa $$dq^1\wedge \cdots \wedge dq^n \wedge dp_1\cdots \wedge dp_n = dQ^1\wedge \cdots \wedge dQ^n \wedge dP_1\cdots \wedge dP_n\:.\tag{2}$$ La primera es mucho más restrictiva. La segunda sólo requiere que la matriz jacobiana tenga determinante $1$ . Ya con $4\times 4$ matrices hay contertulios fáciles.
$Q^1 = aq^1$ ,
$Q^2= b q^2$ ,
$P_1 = b^{-1} p_1$ ,
$P_2 = a^{-1}p_2$
donde las coordenadas están sobre $\mathbb R^4$ y con las constantes $a,b>0$ satisfaciendo $a\neq b$ . Esta transformación satisface (2) pero no (1).
En cambio, para $2n=2$ (1) y (2) son evidentemente equivalentes.
La condición (1) establece que la forma simpléctica es invariante bajo la transformación de coordenadas. Para las transformaciones independientes del tiempo, esto equivale a la canonicidad de la transformación.
Siento si mi consulta no ha sido clara. Su Ec.(1) es un condición en un invariante. Hay otras invariantes como $\sum_{i\ne k}dQ^i\wedge dP^i\wedge dQ^k\wedge dP^k$ que debe ser preservado por las transformaciones canónicas. ¿Es el un condición contenida en su (1) necesaria y suficiente, o tenemos que demostrar también que $\sum_{i\ne k}dQ^i\wedge dP^i\wedge dQ^k\wedge dP^k$ y todos los demás invariantes de Liouville de orden superior se conservan por separado?
Contraejemplo: La transformación $$Q^1~=~2q^1 ,\qquad P_1~=~p_1,\qquad Q^2~=~\frac{1}{2}q^2 ,\qquad P_2~=~p_2 $$ preserva el volumen y la orientación del espacio de fase, pero no es un simplectomorfismo . $^1$
Para el espacio de fase 2D, la forma canónica del volumen del espacio de fase $$\Omega~=~\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n}$$ es la 2 forma simpléctica $\omega$ para que las transformaciones que preservan la orientación y el volumen sean los simplectomorfismos.
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$^1$ Aquí asumiremos que OP define un transformación canónica (CT) como un simplectomorfismo. Hay que tener en cuenta que en la literatura aparecen varias definiciones no equivalentes de CT, cf. por ejemplo este Puesto de Phys.SE.
Se reduce a la estructura del espacio de fase. Usted sabe que el Espacio de Fases debe tener un forma bidiferencial que está representado por sus paréntesis de Poisson. Este dos formas "sigue la pista" de su orientación gracias a su naturaleza intrínseca de simetría sesgada, y debido a que es el producto externo de su variable canónica de momento y posición, define "hipervolúmenes" en su Espacio de Fase. Cualquier espacio equipado con corchetes de Poisson es un espacio simpléctico y el soporte de Poisson será un forma simpléctica . Cuando se cambian las variables, se quiere mantener esta estructura, de ahí que se quiera aplicar un simplectomorfismo (también conocido como transformación canónica ). Es demostrable que el determinante jacobiano de un simplectomorfismo es siempre $1$ así que no deforma los volúmenes en el espacio de fase . Debido a la definición de simplectomorfismo, conservará también su orientación, ya que mantiene la estructura simpléctica sin cambios . Entonces, ¿es una transformación con $\left|\underline{J}\right|=1$ ¿un simplectomorfismo? En general, no lo es, ya que no sabes si mantiene la forma simpléctica en tu espacio sin cambios.
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