¿Cómo dividen una función en partes pares e impares?

Question

Mientras trabajaba en una prueba que demuestra que todas las funciones se limita al dominio de los números reales puede ser expresada como una suma de sus pares y los impares componentes, me topé con un molesto obstáculo; es decir, yo no tenía idea de cómo uno divide la función en estos pares e impares partes.

Buscando una solución para la prueba, me he encontrado con estas fórmulas generales para el par y el impar de partes de una función de $f(n)$:

$$\begin{align*} f_e(n)&\overset{\Delta}{=}\frac{f(n)+f(-n)}{2}\\ f_o(n)&\overset{\Delta}{=}\frac{f(n)-f(-n)}{2} \end{align*}$$

Si bien entiendo que en una función par $f(n) = f(-n)$ y que en una función odd $f(-n) = -f(n)$, yo todavía no entiendo cómo estas fórmulas generales para el par y el impar partes se obtuvieron. Puede alguien me guía a través de la lógica?

Answer 1

Supongamos que usted podría escribir una función $f(x)$ como la suma de un uniforme y una función impar; llamarlos $E(x)$$O(x)$.

En particular, habría \[f(x) = E(x)+O(x)\] y también tendría que \[f(-x) = E(-x) + O(-x) = E(x) - S(x)\] con la última ecuación, porque estamos asumiendo $E$ es incluso y $O$ es impar, por lo $E(x)=E(-x)$$O(-x) = -O(x)$.

La adición de las dos ecuaciones se obtiene $f(x)+f(-x) = 2E(x)$. Restando la segunda ecuación de la primera le da $f(x)-f(-x)=2O(x)$. Ahora resolver para$E(x)$$O(x)$, y se obtiene la fórmula que ver en la solución. Luego de comprobar que la respuesta sí funciona (es decir, comprobar que las fórmulas que se encuentra a dar un uniforme y una función impar en todos los casos).

En otras palabras: pretender que usted ya sabe la respuesta, y tratar de deducir las condiciones que la respuesta debe satisfacer (estos serán necesarias condiciones); si las cosas van bien, usted va a obtener la información suficiente acerca de lo que debe ser como para averiguar lo que son.

Answer 2

Supongamos que $f(x)=g(x)+h(x)$ %#% incluso #% y $g$ impares. Entonces $h$. Piensa en $f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)$ y $f(x)=g(x)+h(x)$ como un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, $f(-x)=g(x)-h(x)$ y $g(x)$, resolver $h(x)$ y $g$.

Answer 3

De intuición:

$$f_e(t) = \frac{f(t)+f(-t)}{2} $$

División por 2 se realiza para normalizar.

$$f(t)=f_e(t)+f_o(t) \implies f_o(t)= f(t)-\frac{(f(t) +f(-t))}{2}=\frac{f(t)-f(-t)}{2}.$$