probar $(n)$ ideal primario de $\mathbb{Z}$ si $n$ es primo o cero

Question

Probar $(n)$ ideal primario de $\mathbb{Z}$ si $n$ es primo o cero

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Definiciones

Def de primo Ideal (n) $$ ab\in (n) \implies a\in(n) \vee b\in(n) $$ Def 1] El entero n es primo si $n \neq 0,\pm 1 $ y los únicos divisores son $\pm n,\pm 1$

Def 2 de n es primo] Si $n\neq0,\pm1$ los únicos divisores de n son $\pm1,\pm n$ $$ n|ab \implies n|a \vee n|b $$

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$\Rightarrow $ ] ( Primer ideal $(n)$ de $\mathbb{Z} $$ \Flecha derecha $ $ n$ primo o cero )

Consideremos ahora el caso en el que $(n)\neq (0)$ . es decir $n\neq 0$

Utilización de la definición de ideales primos $$\begin{aligned} ab \in (n) \implies a \in(n) \vee b \in (n) \end{aligned} $$

Bueno, si un elemento $x\in(n) \iff x=q*n \iff n|x$

$$n|ab \implies n|a \vee n|b$$ Así que, $n$ es primo, distinto de cero.

En el caso de que $(n)=(0)$ claramente $n=0$ ya que no hay divisores cero en $\mathbb{Z}$

$\Leftarrow$ ] (n es primo o cero $\Rightarrow $ $(n)$ es un ideal primo de $\mathbb{Z}$ )

Considere el caso en el que $p is prime$ así que $n\neq 0, \pm1$

$$ \begin{aligned} n|ab &\implies n|a \vee n|b \\ ab \in (n) &\implies a \in (n) \vee b\in(n) \end{aligned}$$

en el caso $n=0$ ya que $\mathbb{Z}$ no tiene divisores cero $$ab=0 \implies a=0 \vee b=0 $$ Así que (0) es un ideal primo.

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Preocupación si esto se demuestra, también se sorprendería si esta pregunta no está por ahí en este sitio. Hizo una búsqueda y hizo clic en preguntas similares y no pudo encontrarlo.y por supuesto cualquier otra forma de probarlo.

Answer 1

Otra forma sería demostrar que $\mathbb{Z}$ es un dominio ideal principal o que tiene una factorización única. ¿No se necesita también la definición de que un ideal principal tiene que estar correctamente contenido dentro del anillo entero?

Si $n = \pm 1$ entonces $\langle n \rangle = \mathbb{Z}$ y por lo tanto no puede ser un ideal primario. Si $n$ es compuesto y divisible por algún primo $p$ entonces $\langle n \rangle$ está correctamente contenida en $\langle p \rangle$ y por lo tanto $\langle n \rangle$ tampoco es un ideal primo.

Y entonces, simplemente, procedes con lo que ya has demostrado.

Answer 2

Sí, desde $p \mid a \iff a \in (p)$ tenemos de forma más general en un anillo conmutativo con unidad, $(p)$ es un ideal primo si $p$ es primo (en el sentido de la teoría de los anillos: $p \mid ab \implies p \mid a \vee p \mid b$ )