Podría alguien darme una intuitiva interpretación física de las derivadas de orden mayor (de 2 y así sucesivamente), que no está relacionado con la posición - velocidad - aceleración - idiota - etc?
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¿Demasiados anuncios?
brbdc
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36
Si desea una explicación sencilla e intuitiva, usted puede obtener una gran cantidad de vehículos.
En un automóvil que viaja a una velocidad constante, supongamos que hay un punto blanco pintado en la parte superior del volante. Si ese punto es en el centro, se viaja en línea recta. Si haces girar un cierto ángulo a la izquierda, dicen que 90 grados, entonces el coche se mueve en un arco circular en una constante de aceleración lateral. Que es la segunda derivada de la posición lateral.
Si se gira el volante a una velocidad constante de 0 grados a 90 grados, entonces la tasa de aceleración lateral está cambiando constantemente mientras está girando la rueda. Que es idiota, y es constante debido a que está girando el volante a una velocidad constante. Es la tercera derivada de la posición lateral.
(Mientras que usted está haciendo esto, el camino trazado por el coche es una espiral de la linealmente el aumento de la curvatura. Carretera y ferrocarril curvas se construyen utilizando estas espirales para conectar segmentos de curvatura constante. Esa espiral da un lugar gradualmente a la orilla de la carretera, y sin que los conductores tienden a cruzar los carriles, y los trenes en realidad tirón al inicio o final de una curva.)
Sin embargo, si usted no gire el volante a una velocidad constante, sino más bien acelerar hacia la izquierda de 0 grados hasta que se están convirtiendo rápidamente en 45 grados, y luego desacelerar hasta que llegue a 90 grados, luego se la está dando un doblete de complemento, la primera positivo, negativo, y que es la cuarta derivada de la aceleración lateral.
Otro vehículo para ilustrar que es un submarino de tener el arco aviones a control de profundidad. Supongamos que hay un motor que gira el arco de los aviones a una velocidad constante, arriba, abajo, o 0. El ángulo de la proa planos determina el tono de la tasa del submarino. El ángulo de paso de los submarinos determina la tasa de cambio de la profundidad.
De modo que el ángulo de paso es proporcional a la derivada primera de la profundidad, el arco plano ángulo determina la derivada segunda, y la velocidad del arco plano motor es la tercera derivada.
También, tomar un cohete con gimballed motores. Si la línea de empuje de un motor de cohete de no ir a través de los cohetes del centro de masa, entonces se produce la aceleración angular, o la segunda derivada de la orientación direccional. Hay motores que mueven el motor de cardanes, y la tasa a la que se mueven ellos determina la tercera derivada de la dirección.
Estoy seguro de que usted puede pensar en otros ejemplos.
Chandra Shekhar Sengupta
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1
Más allá de los derivados que ceder la posición, la velocidad y la aceleración de las derivadas de orden mayor son para aproximar y son utilizados en la ingeniería, en lugar de en la física o las matemáticas. Si usted mira en la serie de Taylor usted encontrará la intuición de que usted está buscando.
user22916
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136
Mayor de derivados de la posición son los relacionados con la "generalizada curvaturas". En 3D, por ejemplo, la derivada de la aceleración es secreto relacionado con la torsión de una curva. La sugerencia es la Frenet-Serret (binormal, normal, tangente) de trillizos o el llamado repere móvil (a la Cartan). Una de las dimensiones superiores de la extensión de este movimiento el marco de referencia no existe por mayor de derivados. Así, las derivadas de orden mayor puede ser matemáticamente imaginaba ser de diferentes clases de clásico "curvaturas". Por ejemplo, el signo de f"(0) está relacionada con el máximo/mínimo de caracteres de f'(0)=0. Generalmente, las personas trabajan con teorías en las cuales sólo la "curvatura" de las cuestiones y de la torsión es generalmente olvidadas. Lo que sucede con la relatividad general, pero algunas teorías incluyen torsión términos. La dinámica de fluidos, de hecho, se relaciona con la torsión de vorticidad/vortex líneas.
Con respecto a la clásica significado de algunas variables, tenemos algunos interesantes interpretaciones de los derivados de la posición (en el sentido físico, no en el sentido matemático he hablado aquí como la relativa a la curvatura/torsión). Ver mi enlace de más abajo.
Por otra parte, otro intuición física para mayores derivados de la física moderna proviene de la Cosmología. Recuerdo que el llamado statefinders de la distancia-factor de escala en la Relatividad General se relaciona constante de Hubble a la "aceleración", y más derivados también están relacionados con el cosmológico observables.
Mi post sobre los derivados de la posición y su "significado":
Giacomo Verticale
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Toma una curva en ther $xy$ plano, descrito por $y=f(x)$, y considerar la posibilidad de algún punto de $(x_0,y_0)$ sobre la curva.
El valor de la función $f(x_0)=y(0)$ da la posición de un punto sobre una línea vertical a través de $x_0$ $x$- eje.
El derivado $f'(x_0)=y_0'$ da la pendiente de la tangente (aproximación lineal) en ese punto, $f(x_0+h) \approx y_0+y_0'h$.
El segundo derivado $f''(x_0)=y_0''$ mide la desviación de la linealidad cerca del punto, en el sentido de que $f(x_0+h) \approx y_0+y_0'h+y_0''h^2/2$ es una más exacta aproximación parabólica cerca de $x_0$.
El tercer derivado $f'''(x_0)=y_0'''$ mide la desviación del óptimo parabólico aproximación cerca del punto, en el sentido de que $f(x_0+h) \approx y_0+y_0'h+y_0''h^2/2+y_0'''h^3/6$ es una forma más precisa cúbicos aproximación cercana a $x_0$.
etc. La serie $y_0+y_0'h+y_0''h^2/2+y_0'''h^3/6+...$ es la expansión en series de Taylor, y le da más y más precisa de aproximaciones (pero a veces en los más pequeños neigborhoods).
Hobo2
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