Explicación de por qué un determinado grupo no es un subgrupo?

Question

Yo soy un recién llegado a la teoría de grupos. Estoy buscando en $C_4$ a que los elementos $\{1,a,a^2,a^3\}$

Sus subgrupos son -

orden de 4: $\{1,a,a^2,a^3\}$

orden de 2: $\{1,a^2\}$

orden de 1: $\{1\}$

¿Por qué no $\{1,a,a^2\}$ a un subgrupo?

Answer 1

Trate de multiplicar $a$$a^2$. No se encuentran en su "subgrupo"?

Answer 2

Bueno, debido a que $\,a\cdot a^2=a^3\notin \{1,a,a^2\}\,$ , por lo que no es cerrado bajo la operación!

También, Lagrange del teorema nos dice que cualquier subgrupo de orden debe dividir el grupo del orden de...