Extensión de Galois con grupo de Galois $A_4$

Question

Supongamos que $\operatorname{char} F \neq 2$ y $K/F$ es una extensión de Galois de grado tres con $\operatorname{Gal}(K/F)\cong \mathbb{Z}/(3)$ . ¿Existe una biyección entre las extensiones $N/F$ con grupo de Galois $A_4$ y los subgrupos de orden cuatro $T/(K^*)^2$ de $K^*/(K^*)^2$ estable bajo la acción de $\operatorname{Gal}(K/F)$ ?

Si no es así, ¿qué supuestos adicionales son necesarios para que exista tal correspondencia y cómo se definirá?

Answer 1

Sea $G = A_4$ , $H$ sea el subgrupo normal de orden $4$ engendrado con doble transposición, y $H_1,H_2,H_3$ los tres subgrupos de $H$ de orden $2$ .

Por el teorema fundamental de la teoría de Galois, si $F \subset N$ es una extensión de Galois con grupo de Galois $G$ tenemos una extensión normal intermedia $F \subset K \subset N$ con $Gal(N/K) = H$ y $Gal(K/F) = G/H = \Bbb Z/3 \Bbb Z$ y tres ampliaciones $K \subset L_i \subset N$ con $Gal(N/L_i) = H_i$ .

$H_i$ es normal en $H$ ( $H$ es abeliano), por lo que $L_i = K(\sqrt{a_i})$ para algunos $a_i \in F$ . $H$ no es normal en $G$ y de hecho $G/H$ actúa fielmente en el $H_i$ por lo tanto, en el $L_i$ y el $a_i$ para una buena elección de $a_i$ .

Por último, el subgrupo generado por el $a_i$ es un grupo $T$ de orden $4$ en $K^*/K^{*2}$ tal que $T$ es estable mediante $G/H$ y $T^{G/H} = 1$ .

Si eliges un subgrupo $T$ con $T^{G/H} = T$ obtendrá en su lugar una prórroga $F \subset K \subset L_i \subset N$ donde $F \subset L_i$ es Galois, y con $Gal(N/F)$ abeliano. Por ejemplo, si se elige $\Bbb Q \subset \Bbb Q(\cos(2\pi/7))$ y $T = \langle -1,-7\rangle$ acabará con $\Bbb Q(\zeta_{28})$ .

Encontrar un subgrupo $T$ con $T^{G/H} = 1$ no es evidente.
Diga $Gal(K/F) = \{id,\sigma,\sigma^2\}$ . Entonces los candidatos son de la forma $\{1,a,\sigma(a),\sigma^2(a)\}$ para algunos $a$ . Se trata de un subgrupo si y sólo si $\sigma^2(a)/a\sigma(a) = b^2$ para algunos $b \in K$ . Entonces tenemos $a^2 = 1/b^2\sigma^2(b^2)$ Así que $a = \pm 1/b\sigma^2(b)$ .
De ahí la posible $T$ son de la forma $\{1, \pm b\sigma(b), \pm \sigma(b)\sigma^2(b), \pm b\sigma^2(b)\}$ para algunos $b \in K$ y $b\sigma(b)$ no un cuadrado, lo que da $N = K(\sqrt{\pm b\sigma(b)},\sqrt{\pm b\sigma^2(b)})$

Y obviamente si eliges $T$ que no es estable por $Gal(K/F)$ (que es la inmensa mayoría de los subgrupos de orden $4$ de $K^*/K^{*2}$ ) no se obtiene una extensión de Galois $F \subset N$ .