A la hora de estudiar débil de las condiciones de la frontera (en Espacios de Sobolev), la costumbre de la motivación para el débil sentido de las desigualdades, es que la frontera de la mayoría de los bloques abiertos en $\mathbb{R}^n$ cero (Lebesgue) medida. Pero no es cualquier conjunto abierto $U\subseteq\mathbb{R}^n$, tal que la frontera ha positiva de la medida de Lebesgue? Yo realmente no puedo pensar en nada de eso.
Respuesta
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Hay un montón de bloques abiertos en $\mathbb{R}^n$ cuyo límite se ha positiva de la medida de Lebesgue. No me sorprendería si "la mayoría" abrir establece los límites con el positivo de la medida de Lebesgue, donde "la mayoría" podría estar refiriéndose a la cardinalidad, o algunos topológico o medida de la teoría de tamaño.
Sin embargo, el abierto de los conjuntos que se pueden visualizar son mucho más regular que el promedio de conjunto abierto, así que no es fácil (si es posible) para obtener una buena imagen mental de un conjunto abierto cuyo límite se ha positiva de la medida de Lebesgue. Y al abrir uno de los conjuntos de análisis, por lo general también son bastante regulares y tienen buenos límites.
Ejemplos de conjuntos cuyo límite no es null conjunto son, por ejemplo, de los complementos de un grueso conjunto de Cantor en la dimensión $1$ (productos en los que al menos uno de los factores es tal en dimensiones superiores).
Algo similar, vamos a $(r_k)_{k \in \mathbb{N}}$ ser una enumeración de los puntos racionales de coordenadas, y vamos a
$$U = \bigcup_{k\in \mathbb{N}} B_{\varepsilon_k}(r_k)$$
para una secuencia $\varepsilon_k \searrow 0$ tal que $\sum {\varepsilon_k}^n$ converge. Entonces usted tiene un denso conjunto abierto $U$ finitos medida de Lebesgue, su límite es su complemento y tiene una infinidad de medida de Lebesgue.
