Tengo un límite de rompecabezas de mí varios días. La pregunta es
$$ \lim_{n\to+\infty} \prod_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n^2}\right).$$
Me pueden ayudar? Gracias de antemano
Respuestas
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Intuitivamente, tenemos
$$\log\left( 1 + \frac{k}{n^2} \right) = \frac{k}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \quad \Longrightarrow \quad \log \prod_{k=1}^{n} \left( 1 + \frac{k}{n^2} \right) = \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right)$$
y por lo tanto el registro de límite es $\frac{1}{2}$.
Aquí es un más acercamiento elemental: Vamos a $P_n$ denotar la secuencia dentro del límite. A continuación, sólo tenga en cuenta que
$$ P_n^2 = \left[ \prod_{k=1}^{n} \left( 1 + \frac{k}{n^2} \right) \right]^2 = \prod_{k=1}^{n} \left( 1 + \frac{k}{n^2} \right)\left( 1 + \frac{n-k}{n^2} \right) = \prod_{k=1}^{n} \left( 1 + \frac{1}{n}+\frac{k(n-k)}{n^4} \right). $$
Ahora fix $m$ y deje $n \geq m$. Desde $k (n-k) \leq \frac{1}{4}n^2$, tenemos
$$ \frac{k(n-k)}{n^4} \leq \frac{1}{4n^2} \leq \frac{1}{4mn}.$$
Así tenemos
$$ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \leq P_n^2 \leq \left( 1 + \frac{1+(1/4m)}{n} \right)^n. $$
Por lo tanto, teniendo $n \to \infty$,
$$e \leq \liminf_{n\to\infty} P_n^2 \leq \limsup_{n\to\infty} P_n^2 \leq e^{1+1/(4m)}.$$
Desde $m$ ahora es arbitrario, tenemos $P_n^2 \to e$, o lo que es equivalente, $P_n \to \sqrt{e}$.
Did
Puntos
1
Como una alternativa a @sos440 del enfoque agradable, tenga en cuenta que $\mathrm e^{x-x^2}\leqslant1+x\leqslant\mathrm e^{x}$ por cada $x$$[0,1]$. Por lo tanto el $n$th producto $P_n$ es tal que $S_n-T_n\leqslant\log(P_n)\leqslant S_n$, con $$ S_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{k}{n},\qquad T_n=\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n^2}\right)^2=\frac1{n^2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^2. $$ En este punto, cualquiera de los dos sabe de memoria la suma de los $n$ primeros números enteros y la suma de los $n$ de los cuadrados de los números enteros, o uno reconoce a $S_n$ como una suma de Riemann de la función $x\mapsto x$$[0,1]$, cuya integral es $\frac12$, e $nT_n$ como una suma de Riemann de la función $x\mapsto x^2$$[0,1]$. De cualquier manera, $S_n\to\frac12$$T_n\to0$, por lo tanto $\log P_n\to\frac12$$P_n\to\sqrt{\mathrm e}$.
