Rudin Ex 2.2: prueba de countability de números algebraicos, con la sugerencia

Question

NOTA: sé que countability de números algebraicos ha sido probada en este sitio antes, pero estoy preocupado por este consejo específico que dar y no sé cómo demostrar que el uso de ese consejo.

Estoy haciendo un ejercicio en Rudin para demostrar que el conjunto de los números algebraicos es contable. En particular,

Un número complejo se dice es algebraico si existen enteros $a_0, \dots, a_n$, no todos los $0$, de tal manera que $a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \dots + a_n = 0$. Demostrar que el conjunto de todos los números algebraicos es contable.

Sugerencia: Para cada entero positivo $N$ hay sólo un número finito de ecuaciones con $n + |a_0| + |a_1| + \dots + |a_n| = N$

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He probado la declaración utilizando esencialmente el método en este post, pero soy curioso en cuanto a cómo se puede utilizar la pista para demostrar la declaración.

Answer 1

Creo que esta sugerencia te ayuda a establecer que $\mathbb Z[X]$ es contable.

Para un polinomio $f(X)=a_nX^n+\cdots +a_1X+a_0\in\mathbb Z[X]$, $a_n\neq 0$, definir el número de $h(f)$ por: $$h(f)= n+|a_n|+\cdots+|a_1|+|a_0|.$$ The function $h:\mathbb Z[X]\longrightarrow \mathbb N$ medidas de algún tipo de complejidad de un polinomio.

Es bastante obvio que el conjunto de $P_N=\{f(X)\in\mathbb Z[X]\mid h(f)= N\}$ es finito, y que $$\mathbb Z[X]= \bigcup_{N\geq 0}P_N.$$ Hence $\mathbb Z[X]$ es el contable de la unión de conjuntos finitos, por lo tanto contables. (Permítanme decir, muy buen truco!)

Ahora, el argumento habitual de los acabados de la prueba: el conjunto de los números algebraicos es $$\bigcup_{f\in\mathbb Z[X]}\operatorname{roots}(f),$$ y es contable de la unión de conjuntos finitos, por lo tanto contables.