¿Por qué no es matemáticamente riguroso tratar dx's y dy's como variables?

Question

Si hago algo como:

$$\frac{dy}{dx} = D$$

$$dy = D \times dx$$

La gente suele decir que no es riguroso hacerlo. Pero si partimos de la definición de la derivada:

$$\lim_{h \to 0}{\frac{f(x + h) - f(x)}{h}} = D$$

Y utilizando las propiedades de los límites podemos decir:

$$\frac{\lim_{h \to 0}{f(x + h) - f(x)}}{\lim_{h \to 0}{h}} = D$$

Y por último:

$$\lim_{h \to 0}(f(x + h) - f(x)) = D \times (\lim_{h \to 0} h)$$

¿No es lo mismo? ¿O me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Puedo detectar el siguiente error en su intento:

1. Y utilizando las propiedades de los límites podemos decir:

   $$\frac{\lim_{h \to 0}{f(x + h) - f(x)}}{\lim_{h \to 0}{h}} = D$$

En realidad no se puede hacer eso, como ha dicho smcc. Debe tener en cuenta que $$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_\limits{x\to 0} f(x)}{\lim_\limits{x\to 0} g(x)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {iff \lim_\limits{x\to 0} g(x) \not = 0}$$ Así que lo que has dicho no es correcto.

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Pasando a la pregunta real, si $dx$ y $dy$ pueden ser tratadas como variables, la mayoría de los matemáticos tratan $\frac{d}{dx}$ como operador matemático (como $+,-,*,/$ ) que actúa sobre la variable $y$ . De esta manera, se puede entender claramente lo que es la variable y lo que no lo es.

Sin embargo, si eres lo suficientemente estricto como para observar desde el punto de vista del "límite", entonces observa que $\frac{dy}{dx}$ no es más que $\lim_\limits{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Ahora $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ es una fracción con $\Delta y$ y $\Delta x$ en el numerador y el denominador. Así que ahora puedes verlos como variables.

Parece un poco raro, lo sé, pero depende totalmente de cómo quieras apoyar tu argumento y desde qué punto de vista quieras hacer tu afirmación.