Cantor ' s prueba de teorema parece un poco demasiado conveniente

Question

Estoy tomando mi primer clase de análisis, y realmente estoy disfrutando de ella. Recientemente me topé con el Cantor del Teorema que afirma que no existe ningún surjective mapa de $f$ de un conjunto $A$ a su powerset, $P(A)$. La prueba es muy sencilla, ese no es el problema, pero me preguntaba si alguien podría hablar de la existencia de la Diagonal de Cantor Conjunto, $B = \{x\in A:x\notin f(x)\}$. Parece un poco demasiado conveniente definir un conjunto donde una asignación es restringido cuando uno está demostrando que no hay un conjunto que no puede ser asignado.

Estoy buscando un poco de intuición. Gracias.

EDIT: me gustaría agradecer a aquellos que dieron respuestas/comentarios a esta pregunta. La Diagonal de Cantor Conjunto es ahora mucho más claro para mí. Yo retiro mi declaración de que la prueba del Teorema de Cantor es "conveniente". Muchas gracias!

Answer 1

Mejor considerarlo como $B_f$ - tomamos una función $f:A\to P(A)$ y $B$ en cuanto a lo de definir.

En particular, estamos diciendo exactamente cuando $x\in B_f$. Es decir:

$$x\in B_f\iff x\in A \text{ and } x\notin f(x)$$

Que determina enteramente $B_f$, dado un $f$.

Y lo que muestra el argumento es que no importa qué $f$ que a los hombres, $B_f$ no está en el rango de $f$.

Así que no $f$ es a.

Answer 2

Los conjuntos son la matemática intento de formalizar la idea de un objeto que es en sí mismo un conjunto de otros objetos matemáticos.

Como tal, esperamos que las colecciones de determinados comportamientos.

Por ejemplo, si tengo una colección de canicas, espero que la colección de todos los mármoles blancos también a ser una colección. Si tengo una colección de botellas de licor, espero que la colección de todas las botellas de whisky a ser una colección así (que no debe confundirse con la recopilación de todas las botellas de whisky!).

Esto se formaliza en la idea de que si $A$ es un conjunto, y $\varphi$ es de primer orden de la propiedad en el lenguaje de la teoría de conjuntos, entonces todos los elementos de a $A$ que satisfacen la propiedad $\varphi$ también forma parte de un conjunto.

Puesto que las propiedades puede hacer referencia a otros objetos existentes, esto podría permitir que los parámetros. Así que, si $f$ es una función, podemos escribir la propiedad,$\varphi(x)$$x\notin f(x)$. Así que si $A$ es un conjunto, entonces $\{a\in A\mid a\notin f(a)\}$ también debe ser un conjunto.

Esto se conoce como la comprensión, o más bien limitada comprensión (también conocido como la separación y el subconjunto). Y este es el quid que nos permite asegurar que $B$ es un conjunto.

Hay una serie de teorías como la de Quine de Nuevas Fundaciones, en el que no cada propiedad define un conjunto. En que la teoría de conjuntos no es, en realidad, un conjunto universal, y del teorema de Cantor no es muy comprobable en su facilidad de formulación debido a las restricciones en las que las propiedades de definir conjuntos de no permitir la diagonal conjunto de existir.