¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra para una prueba t pareada y cuál es el equivalente no paramétrico si los datos no son normales?

Question

Tengo 4 pares de muestras, digamos (x1, y1),...,(x4, y4).

• ¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra para una prueba t pareada?
• ¿Qué hipótesis debo comprobar para la prueba t emparejada?
• Si mis datos no son normales, ¿cuál es una prueba alternativa no paramétrica?

Answer 1

Con un tamaño de muestra tan pequeño, la hipótesis de normalidad es bastante importante. Puede considerar la prueba de rangos con signo de Wilcoxon si cree que este supuesto es defectuoso.

Si la población se distribuye normalmente, no existe un tamaño mínimo de muestra. Si la diferencia media es pequeña en relación con la varianza de la población, entonces también tendrá muy poca potencia. Sin embargo, es posible obtener una buena potencia incluso con un tamaño de muestra muy pequeño.

Como ejemplo, suponga que sus diferencias por pares se distribuyen normalmente con una varianza (desconocida) $\sigma^{2} = 1$ . A continuación se muestran las estimaciones monte carlo (utilizando 10000 sims) de la potencia para valores cada vez mayores $0, .5, 1, ..., 5$ de las diferencias medias por pares

      Mean Difference  Power
 [1,]             0.0 0.0512
 [2,]             0.5 0.1097
 [3,]             1.0 0.2934
 [4,]             1.5 0.5250
 [5,]             2.0 0.7467
 [6,]             2.5 0.8975
 [7,]             3.0 0.9648
 [8,]             3.5 0.9925
 [9,]             4.0 0.9976
[10,]             4.5 0.9998
[11,]             5.0 0.9999

Así que podemos ver que es posible que el emparejamiento $t$ -para seguir teniendo una buena potencia cuando la diferencia media es bastante grande en comparación con la varianza de las diferencias (al menos 2 veces más grande en este caso), incluso si $n=4$ . Hay que tener en cuenta que todo esto se va directamente al traste si las diferencias no se distribuyen normalmente.

Si lo desea, puede observar estas potencias para otros valores de la diferencia de medias y de la varianza utilizando el código R que aparece a continuación (nota: el valor crítico para la $t$ -probar cuando $n=4$ utilizando el límite habitual de 0,05 es 3,182446. Se supone que el valor nulo a probar es 0).

U=seq(0,5,by=.5)
V=U-U
sig=1

for(k in 1:11)
{
   Z=rep(0,10000)
   for(i in 1:10000)
   {
      diffs=rnorm(4,mean=U[k], sd=sig)
      z=(mean(diffs)-0)/(sd(diffs)/sqrt(4))
      Z[i]=z
   }
   V[k] = mean(abs(Z)>3.182446)
}
X=cbind(U,V)
colnames(X)=c("Mean Difference", "Power")
X

Answer 2

No hay un tamaño mínimo de muestra para una prueba t. Pero como señaló @shabbychef, tendrás muy poca potencia.

Answer 3

¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra para una prueba t pareada?

En general, para el ordinario prueba t emparejada, dos pares es la más pequeña, produciendo 1 f.d.

¿Qué hipótesis debo comprobar para la prueba t emparejada?

Normalmente, trataría de evaluarlos todos, pero si sólo tienes 4 pares, es casi imposible intentarlo. Tienes cuatro pares-diferencias, de los cuales dos f.d. irían a estimar la media y la varianza de las diferencias (la ubicación y la escala no importan para los supuestos), en esencia dejando dos f.d. para evaluar la varianza cambiante, la dependencia (en cualquier forma que se te ocurra buscar, si la hay) y la normalidad.

Si mis datos no son normales, ¿cuál es una prueba alternativa no paramétrica?

Datos emparejados: Prueba de rango con signo de Wilcoxon; o prueba de signos; o cualquier número de variedades de prueba de permutación o prueba bootstrap (dependiendo de cómo construya su estadística/qué quiere probar exactamente). Todos ellos tienen supuestos, por supuesto.

Pero la prueba t es al menos razonablemente robusta a la no normalidad de las diferencias (y son las diferencias las que se supone que son normales). Si las observaciones están, digamos, ligeramente inclinadas hacia la derecha y no tienen una cola muy pesada, las diferencias pueden ser indistinguibles de la normalidad incluso con tamaños de muestra grandes. Dicho esto, hay pocas razones para evitar la prueba de rango con signo si la no normalidad es la principal preocupación, pero con 4 pares, entonces estás bastante atascado con un nivel de significación del 12,5%.