Transformación de Laplace complicado

Question

He encontrado la siguiente transformación de Laplace en una lista

$$\int\limits_0^{\infty}e^{-st}\frac{e^{-u^2/4t}}{\sqrt{\pi t}}dt = \frac{e^{-u\sqrt{s}}}{\sqrt{s}}.$$

¿Me pregunto cómo demostrar esto? He intentado hacer algunas sustituciones para el integral, pero nada funcionó. ¿Puede alguien explicarme a mí?

¡Agradezco cualquier ayuda!

Answer 1

Primero, la aplicación de la sustitución de $t\to t^2$ en la integral de intereses rendimientos de

$$\begin{align} \int_0^\infty e^{-st}\,\frac{e^{-u^2/4t}}{\sqrt{\pi t}}\,dt&=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-s\left(t^2+u^2/4st^2\right)}\,dt\\\\ &=\frac{2e^{-u/\sqrt{s}}}{\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-s\left(t-u/2\sqrt{s}t\right)^2}\,dt \tag 1 \end{align}$$

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Segundo, la aplicación de la sustitución de $t\to \sqrt{\frac{u}{2\sqrt{s}}}\,t$ en el lado derecho de la $(1)$ y dejando $\alpha =\sqrt{\frac{u}{2\sqrt{s}}}$ revela

$$\frac{2e^{-u/\sqrt{s}}}{\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-s\left(t-u/2\sqrt{s}t\right)^2}\,dt=\frac{2e^{-u\sqrt{s}}}{\sqrt\pi}\alpha \int_0^\infty e^{-\alpha^2 s\left(t-1/t\right)^2}\,dt \tag 2$$

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Tercero, la aplicación de la sustitución de $t\to 1/t$ en la integral en el lado derecho de la $(3)$, obtenemos

$$\frac{2e^{-u\sqrt{s}}}{\sqrt\pi}\alpha \int_0^\infty e^{-\alpha^2 s\left(t-1/t\right)^2}\,dt =\frac{2e^{-u\sqrt{s}}}{\sqrt\pi}\alpha \int_0^\infty e^{-\alpha^2 s\left(t-1/t\right)^2}\,\left(\frac{1}{t^2}\right)\,dt \tag 3$$

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Siguiente, añadiendo $(2)$ $(3)$ y dividiendo por $2$, nos encontramos con que

$$\begin{align} \frac{2e^{-u\sqrt{s}}}{\sqrt\pi}\alpha \int_0^\infty e^{-\alpha^2 s\left(t-1/t\right)^2}\,dt&=\frac{e^{-u\sqrt{s}}}{\sqrt\pi}\alpha \int_0^\infty e^{-\alpha^2 s\left(t-1/t\right)^2}\,\left(1+\frac{1}{t^2}\right)\,dt\\\\ &=\frac{e^{-u\sqrt{s}}}{\sqrt\pi}\alpha \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha^2 s u^2}\,du\\\\ &=\frac{e^{-u\sqrt{s}}}{\sqrt{s}} \tag 4 \end{align}$$

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Por último, la sustitución de $(4)$ a $(1)$ encontramos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^\infty e^{-st}\,\frac{e^{-u^2/4t}}{\sqrt{\pi t}}\,dt=\frac{e^{-u\sqrt{s}}}{\sqrt{s}}}$$

como iba a ser mostrado!

Answer 2

Es probablemente más fácil que demostrar primero que si $A,B\in\mathbb{R}^+$ tenemos: %#% $ #% que es lo mismo que probar que para cada $$ \int_{0}^{+\infty}\exp\left(-A^2 x^2-\frac{B^2}{x^2}\right)\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2A} e^{-2AB}\tag{1} $ tenemos: $C\in\mathbb{R}^+$ $ o: $$ \int_{0}^{+\infty}\exp\left(-x^2-\frac{C^2}{x^2}\right)\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2C}\tag{2} $ $, $$ \int_{0}^{+\infty}\exp\left[-\left(x-\frac{C}{x}\right)^2\right]\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.\tag{3} $ es una consecuencia trivial del teorema principal de Glasser.

Tan sólo tienes que usar la sustitución $(3)$ y luego explotar $t=v^2$.