Ángulo en un triángulo dentro de un círculo.

Question

A y B son dos puntos en la circunferencia de un círculo con centro O. C es un punto en OB tal que AC $\perp OB$ . AC = 12 cm. BC = 5 cm. Calcula el tamaño de $\angle AOB$ , marcado $\theta$ en el diagrama.

La respuesta dada en el libro de texto es $45.2 ^\circ$ (1dp)

Nota: Esta no es una pregunta de tarea. Sólo estoy haciendo matemáticas por mi propio interés.

Answer 1

Dejar que el radio = $r$ y luego en el triángulo ACO, usando Pitágoras:

$$\begin{align} AO^2 &= AC^2+CO^2\\ \\ r^2 &= 12^2+(r-5)^2\\ \\ 144+25-10r &= 0\\ \\ r &= 16.9\\ \end{align}$$

En el triángulo ACO, $$\begin{align} \sin\theta &= \dfrac{12}{r}\\ \\ \sin\theta &= \dfrac{12}{16.9}\\ \\ \theta &= 45.2^{\circ} (1dp)\\ \end{align}$$

Answer 2

Radio $AO=BO=x$ CM(say)

Así que, $OC=OB-BC=x-5$ es decir, $x\ge5$ y $AC=12$

Tenemos $AO^2=OC^2+AC^2$

$\angle AOB=\arctan\dfrac{12}{x-5}$

Answer 3

Dibuja la línea AB y observa que ABC es un triángulo rectángulo (5,12,13). Como AB es una cuerda, la bisectriz del ángulo AOB también biseca a AB, llamemos a este punto T. Ahora el triángulo OTB es similar al triángulo ACB. Por lo tanto, el ángulo AOB es:

2 * arctan(5/12)

Lo que una calculadora práctica dice que son 45,2 grados.

(Me sorprende que alguien haya marcado esto: Yo sí conseguí la respuesta, cosa que otra respuesta no consiguió, y creo que es más ordenada que la otra respuesta, ya que casi no se necesita ningún cálculo).