Gelfand ' fórmula s, campo diferente

Question

La fórmula de Gelfand dice que una matriz compleja $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, $$\rho(A) = \lim_{m \rightarrow \infty} \|A^m\|^{1/m},$$ where $\rho$ is the spectral radius (norm of maximal eigenvalue / maximal norm of eigenvalues) and $\|\cdot \ |$ es cualquier norma de matriz.

Miré a la prueba en http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_radius y me parece que esto debe ser válido (tal vez con ligeros cambios a la prueba) sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado $K = \overline{K}$ con una valoración no trivial (en particular, en $\overline{\mathbb{Q}_p}$) .

¿Alguien puede confirmar esto?

Answer 1

Parece bien a mí: el único punto a tener cuidado es de notar que, desde que ha asumido la normativa de campo $K$ a ser algebraicamente cerrado, su valor de grupo debe ser denso (no puede ser discretos, ya que si lo fuera, no sería un uniformizer, y no podía haber $n$th raíces). Así que para cualquier $\epsilon > 0$, podemos encontrar algunos de $a \in K^\times$ tal que $\rho(A) < |a| < \rho(A) + \epsilon$. Entonces

$\rho(a^{-1}A) = |a|^{-1} \rho(A) < 1$

de nuevo, de modo que hacemos lo mismo que en la Wikipedia para conseguir eso por lo suficientemente grande $k$, tenemos

$\left\lvert A^k \right\lvert ^{1/k} < |a| < (\rho(A) + \epsilon)$.

Luego se utiliza la densidad de nuevo para encontrar algunos $b \in K^\times$ tal que $\rho(A) - \epsilon < |b| < \rho(A)$ y, a continuación, tomamos nota de que

$\rho(b^{-1}A) = |b|^{-1} \rho(A) > 1$

pues bien, para suficientemente grande $k$ nuevo, tenemos

$\left\lvert A^k \right\lvert^{1/k} > |b| > (\rho(A) - \epsilon)$.

Tenga en cuenta también que la prueba de que la dada en la Wikipedia que si $J_m(\lambda)$ es un bloque de Jordan con $|\lambda| < 1$ $\lim_{k \to \infty} J_m(\lambda)^k = 0$ es aún más fácil si $K$ es nonarchimedean, ya que todos los coeficientes binomiales en la expresión de $J_m(\lambda)^k$ son entonces los enteros que debe tener la norma en la mayoría de los 1 (en el caso de arquímedes, uno debe tener en cuenta que estos coeficientes binomiales son polinomios en $k$ y, a continuación, compare su convergencia a las exponenciales, que también es fácil pero no es tan fácil).